如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，-优题课

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B

（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

如图，对称轴为直线 $x = 1$ 的抛物线 $y = x^{2} - bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (x_{1}$ ， $0)$ 、 $B (x_{2}$ ， $0) (x_{1} < x_{2})$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = - \frac{2}{3}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线顶点为 $D$ ，直线 $BD$ 交 $y$ 轴于 $E$ 点；

①设点 $P$ 为线段 $BD$ 上一点（点 $P$ 不与 $B$ 、 $D$ 两点重合），过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线与抛物线交于点 $F$ ，求 $ΔBDF$ 面积的最大值；

②在线段 $BD$ 上是否存在点 $Q$ ，使得 $∠ BDC = ∠ QCE$ ？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = 7.5$ ， $AC = 9$ ， $S_{ΔABC} = \frac{81}{4}$ ．动点 $P$ 从 $A$ 点出发，沿 $AB$ 方向以每秒5个单位长度的速度向 $B$ 点匀速运动，动点 $Q$ 从 $C$ 点同时出发，以相同的速度沿 $CA$ 方向向 $A$ 点匀速运动，当点 $P$ 运动到 $B$ 点时， $P$ 、 $Q$ 两点同时停止运动，以 $PQ$ 为边作正 $ΔPQM (P$ 、 $Q$ 、 $M$ 按逆时针排序），以 $QC$ 为边在 $AC$ 上方作正 $ΔQCN$ ，设点 $P$ 运动时间为 $t$ 秒．

（1）求 $\cos A$ 的值；

（2）当 $ΔPQM$ 与 $ΔQCN$ 的面积满足 $S_{ΔPQM} = \frac{9}{5} S_{ΔQCN}$ 时，求 $t$ 的值；

（3）当 $t$ 为何值时， $ΔPQM$ 的某个顶点 $(Q$ 点除外）落在 $ΔQCN$ 的边上．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 分别与 $BC$ 、 $AC$ 交于点 $D$ 、 $E$ ，过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ 于点 $F$ ．

（1）若 $⊙ O$ 的半径为3， $∠ CDF = 15 °$ ，求阴影部分的面积；

（2）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（3）求证： $∠ EDF = ∠ DAC$ ．

如图，在平面直角坐标系中， $A$ 点的坐标为 $(a, 6)$ ， $AB ⊥ x$ 轴于点 $B$ ， $\cos ∠ OAB = = \frac{3}{5}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象的一支分别交 $AO$ 、 $AB$ 于点 $C$ 、 $D$ ．延长 $AO$ 交反比例函数的图象的另一支于点 $E$ ．已知点 $D$ 的纵坐标为 $\frac{3}{2}$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求直线 $EB$ 的解析式；

（3）求 $S_{ΔOEB}$ ．

已知 $ΔABC$ 中， $∠ A = 90 °$ ．

（1）请在图1中作出 $BC$ 边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）如图2，设 $BC$ 边上的中线为 $AD$ ，求证： $BC = 2 AD$ ．