先化简，再求值，其中，．-优题课

在创建"浙江省健康促进学校"的过程中，某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：

抽取的学生视力情况统计表

类别	检查结果	人数
$A$	正常	88
$B$	轻度近视	▲
$C$	中度近视	59
$D$	重度近视	▲

（1）求所抽取的学生总人数；

（2）该校共有学生约1800人，请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数；

（3）请结合上述统计数据，为该校做好近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议．

计算： $| - 2021 | + {(- 3)}^{0} - \sqrt{4}$ ．

在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(- \sqrt{73}$ ， $0)$ ，点 $B$ 在直线 $l : y = \frac{3}{8} x$ 上，过点 $B$ 作 $AB$ 的垂线，过原点 $O$ 作直线 $l$ 的垂线，两垂线相交于点 $C$ ．

（1）如图，点 $B$ ， $C$ 分别在第三、二象限内， $BC$ 与 $AO$ 相交于点 $D$ ．

①若 $BA = BO$ ，求证： $CD = CO$ ．

②若 $∠ CBO = 45 °$ ，求四边形 $ABOC$ 的面积．

（2）是否存在点 $B$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $C$ 为顶点的三角形与 $ΔBCO$ 相似？若存在，求 $OB$ 的长；若不存在，请说明理由．

背景：点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上， $AB ⊥ x$ 轴于点 $B$ ， $AC ⊥ y$ 轴于点 $C$ ，分别在射线 $AC$ ， $BO$ 上取点 $D$ ， $E$ ，使得四边形 $ABED$ 为正方形．如图1，点 $A$ 在第一象限内，当 $AC = 4$ 时，小李测得 $CD = 3$ ．

探究：通过改变点 $A$ 的位置，小李发现点 $D$ ， $A$ 的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．

（1）求 $k$ 的值．

（2）设点 $A$ ， $D$ 的横坐标分别为 $x$ ， $z$ ，将 $z$ 关于 $x$ 的函数称为" $Z$ 函数"．如图2，小李画出了 $x > 0$ 时" $Z$ 函数"的图象．

①求这个" $Z$ 函数"的表达式．

②补画 $x < 0$ 时" $Z$ 函数"的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．

③过点 $(3, 2)$ 作一直线，与这个" $Z$ 函数"图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．

在扇形 $AOB$ 中，半径 $OA = 6$ ，点 $P$ 在 $OA$ 上，连结 $PB$ ，将 $ΔOBP$ 沿 $PB$ 折叠得到△ $O' BP$ ．

（1）如图1，若 $∠ O = 75 °$ ，且 $BO'$ 与 $\hat{AB}$ 所在的圆相切于点 $B$ ．

①求 $∠ APO'$ 的度数．

②求 $AP$ 的长．

（2）如图2， $BO'$ 与 $\hat{AB}$ 相交于点 $D$ ，若点 $D$ 为 $\hat{AB}$ 的中点，且 $PD / / OB$ ，求 $\hat{AB}$ 的长．