背景：点A在反比例函数ykx(k<0)的图象上，AB⊥x轴于-优题课

背景：点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上， $AB ⊥ x$ 轴于点 $B$ ， $AC ⊥ y$ 轴于点 $C$ ，分别在射线 $AC$ ， $BO$ 上取点 $D$ ， $E$ ，使得四边形 $ABED$ 为正方形．如图1，点 $A$ 在第一象限内，当 $AC = 4$ 时，小李测得 $CD = 3$ ．

探究：通过改变点 $A$ 的位置，小李发现点 $D$ ， $A$ 的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．

（1）求 $k$ 的值．

（2）设点 $A$ ， $D$ 的横坐标分别为 $x$ ， $z$ ，将 $z$ 关于 $x$ 的函数称为" $Z$ 函数"．如图2，小李画出了 $x > 0$ 时" $Z$ 函数"的图象．

①求这个" $Z$ 函数"的表达式．

②补画 $x < 0$ 时" $Z$ 函数"的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．

③过点 $(3, 2)$ 作一直线，与这个" $Z$ 函数"图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：反比例函数系数k的几何意义反比例函数综合题

为了落实党的“精准扶贫”政策， $A$ 、 $B$ 两城决定向 $C$ 、 $D$ 两乡运送肥料以支持农村生产，已知 $A$ 、 $B$ 两城共有肥料500吨，其中 $A$ 城肥料比 $B$ 城少100吨，从 $A$ 城往 $C$ 、 $D$ 两乡运肥料的费用分别为20元 $/$ 吨和25元 $/$ 吨；从 $B$ 城往 $C$ 、 $D$ 两乡运肥料的费用分别为15元 $/$ 吨和24元 $/$ 吨．现 $C$ 乡需要肥料240吨， $D$ 乡需要肥料260吨．

（1） $A$ 城和 $B$ 城各有多少吨肥料？

（2）设从 $A$ 城运往 $C$ 乡肥料 $x$ 吨，总运费为 $y$ 元，求出最少总运费．

（3）由于更换车型，使 $A$ 城运往 $C$ 乡的运费每吨减少 $a (0 < a < 6)$ 元，这时怎样调运才能使总运费最少？

如图，在 $Rt Δ BCD$ 中， $∠ CBD = 90 °$ ， $BC = BD$ ，点 $A$ 在 $CB$ 的延长线上，且 $BA = BC$ ，点 $E$ 在直线 $BD$ 上移动，过点 $E$ 作射线 $EF ⊥ EA$ ，交 $CD$ 所在直线于点 $F$ ．

（1）当点 $E$ 在线段 $BD$ 上移动时，如图（1）所示，求证： $BC - DE = \frac{\sqrt{2}}{2} DF$ ．

（2）当点 $E$ 在直线 $BD$ 上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段 $BC$ 、 $DE$ 与 $DF$ 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

某市制米厂接到加工大米任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．甲、乙两车间各自加工大米数量 $y$ （吨 $)$ 与甲车间加工时间 $x$ （天 $)$ 之间的关系如图（1）所示；未加工大米 $w$ （吨 $)$ 与甲加工时间 $x$ （天 $)$ 之间的关系如图（2）所示，请结合图象回答下列问题：

（1）甲车间每天加工大米　　吨， $a =$ 　　．

（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量 $y$ （吨 $)$ 与 $x$ （天 $)$ 之间函数关系式．

（3）若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好装满第二节车厢？

为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动，现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如下的两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列各题：

（1）直接写出 $a$ 的值， $a =$ 　　，并把频数分布直方图补充完整．

（2）求扇形 $B$ 的圆心角度数．

（3）如果全校有2000名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学生有多少人？

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与 $y$ 轴交于点 $A (0, 2)$ ，对称轴为直线 $x = - 2$ ，平行于 $x$ 轴的直线与抛物线交于 $B$ 、 $C$ 两点，点 $B$ 在对称轴左侧， $BC = 6$ ．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点 $P$ 在 $x$ 轴上，直线 $CP$ 将 $ΔABC$ 面积分成 $2 : 3$ 两部分，请直接写出 $P$ 点坐标．