背景：点 $A$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$ 的图象上， $\mathit{AB}\perp x$ 轴于点 $B$ ， $\mathit{AC}\perp y$ 轴于点 $C$ ，分别在射线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BO}$ 上取点 $D$ ， $E$ ，使得四边形 $\mathit{ABED}$ 为正方形．如图1，点 $A$ 在第一象限内，当 $\mathit{AC}=4$ 时，小李测得 $\mathit{CD}=3$ ．

探究：通过改变点 $A$ 的位置，小李发现点 $D$ ， $A$ 的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．

（1）求 $k$ 的值．

（2）设点 $A$ ， $D$ 的横坐标分别为 $x$ ， $z$ ，将 $z$ 关于 $x$ 的函数称为" $Z$ 函数"．如图2，小李画出了 $x>0$ 时" $Z$ 函数"的图象．

①求这个" $Z$ 函数"的表达式．

②补画 $x<0$ 时" $Z$ 函数"的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．

③过点 $(3,2)$ 作一直线，与这个" $Z$ 函数"图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 反比例函数系数k的几何意义 反比例函数综合题