计算题：．-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (0, 4)$ 三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$ 的坐标；

（2）将（1）中的抛物线向下平移 $\frac{15}{4}$ 个单位长度，再向左平移 $h (h > 0)$ 个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点 $D'$ 在 $ΔABC$ 内，求 $h$ 的取值范围；

（3）点 $P$ 为线段 $BC$ 上一动点（点 $P$ 不与点 $B$ ， $C$ 重合），过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交（1）中的抛物线于点 $Q$ ，当 $ΔPQC$ 与 $ΔABC$ 相似时，求 $ΔPQC$ 的面积．

某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完．销售金额 $y$ （元 $)$ 与销售量 $x$ （千克）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题：

（1）降价前苹果的销售单价是　　元 $/$ 千克；

（2）求降价后销售金额 $y$ （元 $)$ 与销售量 $x$ （千克）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）该水果店这次销售苹果盈利了多少元？

如图，一艘海轮位于灯塔 $P$ 的东北方向，距离灯塔80海里的 $A$ 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$ 的南偏东 $30 °$ 方向上的 $B$ 处．

（1）求海轮从 $A$ 处到 $B$ 处的途中与灯塔 $P$ 之间的最短距离（结果保留根号）；

（2）若海轮以每小时30海里的速度从 $A$ 处到 $B$ 处，试判断海轮能否在5小时内到达 $B$ 处，并说明理由．

（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{6} \approx 2.45)$

某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间，从该校九年级学生中随机抽取20名学生进行调查，得到如下数据（单位：分钟） $:$

306070103011570607590157040751058060307045

对以上数据进行整理分析，得到下列表一和表二：

表一

时间 $t$ （单位：分钟）	$0 ⩽ t < 30$	$30 ⩽ t < 60$	$60 ⩽ t < 90$	$90 ⩽ t < 120$
人数	2	$a$	10	$b$

表二

平均数	中位数	众数
60	$c$	$d$

根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）填空

① $a =$ 　　， $b =$ 　　；

② $c =$ 　　， $d =$ 　　；

（2）如果该校现有九年级学生200名，请估计该校九年级学生每天参加体育锻炼的时间达到平均水平及以上的学生人数．

解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x + 3 (x - 2) < 4 ① \\ \frac{x + 3}{2} < \frac{2 x - 5}{3} + 3 ② \end{matrix}$ 并把解集在数轴上表示出来．