为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建-优题课

为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB与MN之间的距离）．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB=30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA=60°，请你根据以上测量数据求出河的宽度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留整数）

科目数学题型解答题难度较易

知识点：解直角三角形

如图所示，在正方形 $ABCD$ 和 $ΔEFG$ 中， $AB = EF = EG = 5 cm$ ， $FG = 8 cm$ ，点 $B$ 、 $C$ 、 $F$ 、 $G$ 在同一直线 $l$ 上．当点 $C$ 、 $F$ 重合时， $ΔEFG$ 以 $1 cm / s$ 的速度沿直线 $l$ 向左开始运动， $t$ 秒后正方形 $ABCD$ 与 $ΔEFG$ 重合部分的面积为 $Sc m^{2}$ ．请解答下列问题：

（1）当 $t = 3$ 秒时，求 $S$ 的值；

（2）当 $t = 5$ 秒时，求 $S$ 的值；

（3）当5秒 $< t ⩽ 8$ 秒时，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式，并求出 $S$ 的最大值．

麦积山石窟是世界文化遗产，国家 $AAAAA$ 级旅游景区，中国四大石窟之一．在2018年中国西北旅游营销大会暨旅游装备展上，商家按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．

（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

（2）若每件工艺品按此进价进货、标价销售，商家每天可售出该工艺品100件；若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问：每件工艺品降价多少元销售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？

如图所示， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 是 $AB$ 延长线上的一点，过点 $P$ 作 $⊙ O$ 的切线，切点为 $C$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．

（1）求证： $∠ BAC = ∠ BCP$ ．

（2）若点 $P$ 在 $AB$ 的延长线上运动， $∠ CPA$ 的平分线交 $AC$ 于点 $D$ ，你认为 $∠ CDP$ 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若没有变化，求出 $∠ CDP$ 的大小．

天水市“最美女教师”刘英为抢救两名学生，身负重伤．社会各界纷纷为她捐款，某校2000名学生也积极参加了此捐款活动．捐款金额有5元、10元、15元、20元、25元共五种．为了了解捐款情况，学校随机抽样调查了部分学生的捐款情况，并根据捐款金额和人数绘制了如下统计图（图①和图② $)$ ．请根据所给信息解答下列问题．

（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为　　人，图①中 $m$ 的值是　　．

（2）根据样本数据，请估计该校在本次活动中捐款金额为10元的学生人数．

如图所示，在平面直角坐标系中，直线 $y = x - 1$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第一象限内相交于点 $B (m, 1)$

（1）求反比例函数的解析式；

（2）将直线 $y = x - 1$ 向上平行移动后与反比例函数在第一象限内相交于点 $C$ ，且 $ΔABC$ 的面积为4，求平行移动后的直线的解析式．

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