如图，在△ABC中，CD⊥AB，∠ACD＝45°，∠DCB6-优题课

解不等式组 $\{\begin{matrix} 3 x ⩽ 2 x + 1, ① \\ 2 x + 5 ⩾ - 1 \cdot ② \end{matrix}$

请结合题意填空，完成本题的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得　　；

（Ⅱ）解不等式②，得　　；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　　．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AB = AC$ ，点 $D$ 是 $BC$ 边上一动点，连接 $AD$ ，把 $AD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $AE$ ，连接 $CE$ ， $DE$ ．点 $F$ 是 $DE$ 的中点，连接 $CF$ ．

（1）求证： $CF = \frac{\sqrt{2}}{2} AD$ ；

（2）如图2所示，在点 $D$ 运动的过程中，当 $BD = 2 CD$ 时，分别延长 $CF$ ， $BA$ ，相交于点 $G$ ，猜想 $AG$ 与 $BC$ 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

（3）在点 $D$ 运动的过程中，在线段 $AD$ 上存在一点 $P$ ，使 $PA + PB + PC$ 的值最小．当 $PA + PB + PC$ 的值取得最小值时， $AP$ 的长为 $m$ ，请直接用含 $m$ 的式子表示 $CE$ 的长．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与直线 $AB$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，其中 $A (- 3, - 4)$ ， $B (0, - 1)$ ．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点 $P$ 为直线 $AB$ 下方抛物线上的任意一点，连接 $PA$ ， $PB$ ，求 $ΔPAB$ 面积的最大值；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 $y = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} (a_{1} \neq 0)$ ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点 $C$ ，点 $D$ 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 $E$ ，使以点 $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对 $A$ ， $B$ 两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年 $A$ ， $B$ 两个品种各种植了10亩．收获后 $A$ ， $B$ 两个品种的售价均为2.4元 $/ kg$ ，且 $B$ 的平均亩产量比 $A$ 的平均亩产量高 $100 kg$ ， $A$ ， $B$ 两个品种全部售出后总收入为21600元．

（1）请求出 $A$ ， $B$ 两个品种去年平均亩产量分别是多少？

（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在 $A$ ， $B$ 种植亩数不变的情况下，预计 $A$ ， $B$ 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 $a %$ 和 $2 a %$ ．由于 $B$ 品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨 $a %$ ，而 $A$ 品种的售价不变． $A$ ， $B$ 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加 $\frac{20}{9} a %$ ．求 $a$ 的值．

在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数 $- -$ “差一数”．

定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．

例如： $14 \div 5 = 2 \dots 4$ ， $14 \div 3 = 4 \dots 2$ ，所以14是“差一数”；

$19 \div 5 = 3 \dots 4$ ，但 $19 \div 3 = 6 \dots 1$ ，所以19不是“差一数”．

（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；

（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．