如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD∠C，求证：AB-优题课

一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆 $C$ 出发，沿北偏东 $30 °$ 的方向行走2000米到达石鼓书院 $A$ 处，参观后又从 $A$ 处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东 $45 °$ 方向的雁峰公园 $B$ 处，如图所示．

（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；

（2）若这名徒步爱好者以100米 $/$ 分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？

“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于50分）绘制出如图所示的部分频数分布直方图．

请根据图中信息完成下列各题．

（1）将频数分布直方图补充完整人数；

（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；

（3）现将从包括小明和小强在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求小明与小强同时被选中的概率．

如图，已知线段 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $E$ ， $AE = DE$ ， $BE = CE$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔDCE$ ；

（2）当 $AB = 5$ 时，求 $CD$ 的长．

在矩形 $ABCD$ 中， $AD > AB$ ，点 $P$ 是 $CD$ 边上的任意一点（不含 $C$ ， $D$ 两端点），过点 $P$ 作 $PF / / BC$ ，交对角线 $BD$ 于点 $F$ ．

（1）如图1，将 $ΔPDF$ 沿对角线 $BD$ 翻折得到 $ΔQDF$ ， $QF$ 交 $AD$ 于点 $E$ ．

求证： $ΔDEF$ 是等腰三角形；

（2）如图2，将 $ΔPDF$ 绕点 $D$ 逆时针方向旋转得到△ $P^{'} D F^{'}$ ，连接 $P^{'} C$ ， $F^{'} B$ ．设旋转角为 $α (0 ° < α < 180 °)$ ．

①若 $0 ° < α < ∠ BDC$ ，即 $D F^{'}$ 在 $∠ BDC$ 的内部时，求证：△ $D P^{'} C ∽$ △ $D F^{'} B$ ．

②如图3，若点 $P$ 是 $CD$ 的中点，△ $D F^{'} B$ 能否为直角三角形？如果能，试求出此时 $\tan ∠ DB F^{'}$ 的值，如果不能，请说明理由．

如图1，已知抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，点 $P$ 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为 $l$ ， $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $D$ ．在直线 $l$ 上是否存在点 $M$ ，使得四边形 $CDPM$ 是平行四边形？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $BC$ ， $PB$ ， $PC$ ，设 $ΔPBC$ 的面积为 $S$ ．

①求 $S$ 关于 $t$ 的函数表达式；

②求 $P$ 点到直线 $BC$ 的距离的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标．