如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠150°，∠-优题课

先化简 $（ 1 - \frac{1}{a - 1} ）$ $\div \frac{a - 2}{2} + \frac{a - 1}{a^{2} - 2 a + 1}$ ，再从 $1 ， 2 ， 3$ 中选一个适当的数代入求值．

计算： $2 \cos 45 ° + （ π ﹣ 3.14 ）^{0}$ $+ | 1 - \sqrt{2} | +$ $（ \frac{1}{2} ）^{﹣ 1}$ ．

综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作判断

操作一：对折矩形纸片 $A B C D$ ，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展平；

操作二：在 $A D$ 上选一点 $P$ ，沿 $B P$ 折叠，使点 $A$ 落在矩形内部点 $M$ 处，把纸片展平，连接 $P M ， B M$ ．

根据以上操作，当点 $M$ 在 $E F$ 上时，写出图1中一个 $30 °$ 的角：＿＿＿＿＿＿．

（2）迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片 $A B C D$ 按照（1）中的方式操作，并延长 $P M$ 交 $C D$ 于点 $Q$ ，连接 $B Q$ ．

①如图2，当点 $M$ 在 $E F$ 上时， $∠ M B Q ＝$ ＿＿＿＿＿＿ $°$ ， $∠ C B Q ＝$ ＿＿＿＿＿＿ $°$ ；

②改变点 $P$ 在 $A D$ 上的位置（点 $P$ 不与点 $A ， D$ 重合），如图3，判断 $∠ M B Q$ 与 $∠ C B Q$ 的数量关系，并说明理由．

（3）拓展应用

在（2）的探究中，已知正方形纸片 $A B C D$ 的边长为 $8 c m$ ，当 $F Q ＝ 1 c m$ 时，直接写出 $A P$ 的长．

为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环 $⊙ O$ 与水平地面相切于点 $C$ ，推杆 $A B$ 与铅垂线 $A D$ 的夹角为 $∠ B A D$ ，点 $O ， A ， B ， C ， D$ 在同一平面内．当推杆 $A B$ 与铁环 $⊙ O$ 相切于点 $B$ 时，手上的力量通过切点 $B$ 传递到铁环上，会有较好的启动效果．

（1）求证： $∠ B O C + ∠ B A D ＝ 90 °$ ．

（2）实践中发现，切点 $B$ 只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点 $B$ 是该区域内最低位置，此时点 $B$ 距地面的距离 $A D$ 最小，测得 $\cos ∠ B A D = \frac{3}{5}$ ．已知铁环 $⊙ O$ 的半径为 $25 c m$ ，推杆 $A B$ 的长为 $75 c m$ ，求此时 $A D$ 的长．

小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头 $P$ 距地面 $0.7 m$ ，水柱在距喷水头 $P$ 水平距离 $5 m$ 处达到最高，最高点距地面 $3.2 m$ ；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 $y ＝ a （ x ﹣ h ）^{2} + k$ ，其中 $x （ m ）$ 是水柱距喷水头的水平距离， $y （ m ）$ 是水柱距地面的高度．

（1）求抛物线的表达式．

（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头 $P$ 水平距离 $3 m$ ．身高 $1.6 m$ 的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．