求的最小值-优题课

小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数 $y = \frac{1}{x + 1}$ 的图象与性质．其研究过程如下：

（1）绘制函数图象

①列表：如表是 $x$ 与 $y$ 的几组对应值，其中 $m =$ 　　；

$x$	$\dots$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- \frac{3}{2}$	$- \frac{4}{3}$	$- \frac{2}{3}$	$- \frac{1}{2}$	0	1	2	$\dots$
$y$	$\dots$	$- \frac{1}{3}$	$- \frac{1}{2}$	$- 1$	$- 2$	$- 3$	3	2	$m$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\dots$

②描点：根据表中的数值描点 $(x, y)$ ，请补充描出点 $(0, m)$ ；

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．

（2）探究函数性质

判断下列说法是否正确（正确的填“ $\sqrt$ ”，错误的填“ $\times$ ” $)$

①函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小：　　．

②函数图象关于原点对称：　　．

③ 函数图象与直线 $x = - 1$ 没有交点：　　．

如图， $BD$ 为 $▱ ABCD$ 的对角线．

（1）作对角线 $BD$ 的垂直平分线，分别交 $AD$ ， $BC$ ， $BD$ 于点 $E$ ， $F$ ， $O$ （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）连接 $BE$ ， $DF$ ，求证：四边形 $BEDF$ 为菱形．

为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：

（1）收集数据．

从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：

81 83 84 85 86 87 87 88 89 90

92 92 93 95 95 95 99 99 100 100

（2）整理、描述数据．

按下表分段整理描述样本数据：

分数 $x$

人数

年级

$80 ⩽ x < 85$

$85 ⩽ x < 90$

$90 ⩽ x < 95$

$95 ⩽ x ⩽ 100$

七年级

4

6

2

8

八年级

3

$a$

4

7

（3）分析数据．

两组样本数据的平均数中位数、众数、方差如表所示：

年级	平均数	中位数	众数	方差
七年级	91	89	97	40.9
八年级	91	$b$	$c$	33.2

根据以上提供的信息，解答下列问题：

①填空： $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　；

②样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，　　同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙” $)$ ；

③从样本数据分析来看，分数较整齐的是　　年级（填“七”或“八” $)$ ；

④如果七年级共有400人参赛，则该年级约有　　人的分数不低于95分．

如图，建筑物 $BC$ 上有一旗杆 $AB$ ，从与 $BC$ 相距 $20 m$ 的 $D$ 处观测旗杆顶部 $A$ 的仰角为 $52 °$ ，观测旗杆底部 $B$ 的仰角为 $45 °$ ，求旗杆 $AB$ 的高度（结果保留小数点后一位．参考数据： $\sin 52 ° \approx 0.79$ ， $\cos 52 ° \approx 0.62$ ， $\tan 52 ° \approx 1.28$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41)$ ．

抛物线 $y = x^{2} - 1$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点 $(A$ 在 $B$ 的左边）．

（1） $▱ ACDE$ 的顶点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上，顶点 $E$ 在 $y$ 轴右侧的抛物线上；

①如图（1），若点 $C$ 的坐标是 $(0, 3)$ ，点 $E$ 的横坐标是 $\frac{3}{2}$ ，直接写出点 $A$ ， $D$ 的坐标．

②如图（2），若点 $D$ 在抛物线上，且 $▱ ACDE$ 的面积是12，求点 $E$ 的坐标．

（2）如图（3）， $F$ 是原点 $O$ 关于抛物线顶点的对称点，不平行 $y$ 轴的直线 $l$ 分别交线段 $AF$ ， $BF$ （不含端点）于 $G$ ， $H$ 两点．若直线 $l$ 与抛物线只有一个公共点，求证： $FG + FH$ 的值是定值．