如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，-优题课

如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE ＝∠C

（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长；
（3）在（1）、（2）的条件下，若AD＝3，求BF的长（计算结果可含根号）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质

“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．

例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点， $\dots \dots$ ，按此规律，求图10、图 $n$ 有多少个点？

我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是 $6 \times 1 = 6$ 个；图2中黑点个数是 $6 \times 2 = 12$ 个：图3中黑点个数是 $6 \times 3 = 18$ 个； $\dots \dots$ ；所以容易求出图10、图 $n$ 中黑点的个数分别是　　、　　．

请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：

（1）第5个点阵中有　　个圆圈；第 $n$ 个点阵中有　　个圆圈．

（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．

某种蔬菜的销售单价 $y_{1}$ 与销售月份 $x$ 之间的关系如图1所示，成本 $y_{2}$ 与销售月份 $x$ 之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）

（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益 $=$ 售价 $-$ 成本）

（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．

（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？

目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了 $m$ 人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．

（1）根据图中信息求出 $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；

（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？

（4）已知 $A$ 、 $B$ 两位同学都最认可“微信”， $C$ 同学最认可“支付宝”， $D$ 同学最认可“网购”．从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．

如图， $CE$ 是 $⊙ O$ 的直径， $BC$ 切 $⊙ O$ 于点 $C$ ，连接 $OB$ ，作 $ED / / OB$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $BD$ 的延长线与 $CE$ 的延长线交于点 $A$ ．

（1）求证： $AB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为1， $\tan ∠ DEO = \sqrt{2}$ ，求 $AE$ 的长．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{m^{3} - m^{2}}{x} (x > 0, m > 1)$ 图象上一点，点 $A$ 的横坐标为 $m$ ，点 $B (0, - m)$ 是 $y$ 轴负半轴上的一点，连接 $AB$ ， $AC ⊥ AB$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，延长 $CA$ 到点 $D$ ，使得 $AD = AC$ ，过点 $A$ 作 $AE$ 平行于 $x$ 轴，过点 $D$ 作 $y$ 轴平行线交 $AE$ 于点 $E$ ．

（1）当 $m = 3$ 时，求点 $A$ 的坐标；

（2） $DE =$ 　　，设点 $D$ 的坐标为 $(x, y)$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式和自变量的取值范围；

（3）连接 $BD$ ，过点 $A$ 作 $BD$ 的平行线，与（2）中的函数图象交于点 $F$ ，当 $m$ 为何值时，以 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 、 $F$ 为顶点的四边形是平行四边形？