选修4—5：不等式选讲已知实数满足，且．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）-优题课

选修4—5：不等式选讲
已知实数满足，且．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：．

科目数学题型解答题难度较易

已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 4, A C = B C = 3$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点.

（Ⅰ）求异面直线 $C C_{1}$ 和 $A B$ 的距离；
（Ⅱ）若 $A B_{1} ⊥ A_{1} C$ ，求二面角 $A_{1} - C D - B_{1}$ 的平面角的余弦值.

设函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0, ω > 0, - π < φ < π$ ）在 $x = \frac{π}{6}$ 处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为 $\frac{π}{2}$ .

（I）求 $f (x)$ 的解析式；

（II）求函数 $g (x) = \frac{6 \cos^{4} x - \sin^{2} x - 1}{f (x + \frac{π}{6})}$ 的值域.

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且各次投篮互不影响.

（Ⅰ）求乙获胜的概率；

（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.

已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + c$ 在 $x = 2$ 处取得极值为 $c - 16$

（1）求 $a, b$ 的值；
（2）若 $f (x)$ 有极大值28，求 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的最大值．

已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且 $a_{1} + a_{3} = 8, a_{2} + a_{4} = 12$ .

（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1}, a_{k}, a_{k + 2}$ 成等比数列，求正整数 $k$ 的值.