探究（1）如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB90，作-优题课

题文

探究

（1）如图①，在等腰直角三角形 $ABC$ 中， $∠ ACB = 90$ ，作 $CM$ 平分 $∠ ACB$ 交 $AB$ 于点 $M$ ，点 $D$ 为射线 $CM$ 上一点，以点 $C$ 为旋转中心将线段 $CD$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $CE$ ，连接 $DE$ 交射线 $CB$ 于点 $F$ ，连接 $BD$ 、 $BE$

填空：

①线段 $BD$ 、 $BE$ 的数量关系为　　．

②线段 $BC$ 、 $DE$ 的位置关系为　　．

推广：

（2）如图②，在等腰三角形 $ABC$ 中，顶角 $∠ ACB = α$ ，作 $CM$ 平分 $∠ ACB$ 交 $AB$ 于点 $M$ ，点 $D$ 为 $ΔABC$ 外部射线 $CM$ 上一点，以点 $C$ 为旋转中心将线段 $CD$ 逆时针旋转 $α$ 度得到线段 $CE$ ，连接 $DE$ 、 $BD$ 、 $BE$ 请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．

应用：

（3）如图③，在等边三角形 $ABC$ 中， $AB = 4$ ．作 $BM$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AC$ 于点 $M$ ，点 $D$ 为射线 $BM$ 上一点，以点 $B$ 为旋转中心将线段 $BD$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $BE$ ，连接 $DE$ 交射线 $BA$ 于点 $F$ ，连接 $AD$ 、 $AE$ ．当以 $A$ 、 $D$ 、 $M$ 为顶点的三角形与 $ΔAEF$ 全等时，请直接写出 $DE$ 的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：几何变换综合题全等三角形的判定与性质等边三角形的性质等腰直角三角形三角形综合题

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解方程：

如图，梯形中，在轴上，∥，∠=°,为坐标原点，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，到点停止，过点作⊥轴交或于点，以为一边向右作正方形,设运动时间为（秒），正方形与梯形重叠面积为（平方单位）．

（1）求tan∠AOC．
（2）求与t的函数关系式．
（3）求（2）中的的最大值．
（4）连接，的中点为,请直接写出在正方形变化过程中，t为何值时，△为等腰三角形．

如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且于点，点的坐标为（2，2），=，60°，点是线段上一点，且，连接．

（1）求证：△AOD是等边三角形；
（2）求点的坐标；
（3）平行于的直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移．设直线l被四边形截得的线段长为，直线l与x轴交点的横坐标为t．
① 当直线l与x轴的交点在线段CD上（交点不与点C，D重合）时，请直接写出m与t的函数关系式（不必写出自变量t的取值范围）．
② 若，请直接写出此时的值．

探究：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE，
结论：（1）∠AEB的度数为；
（2）线段AD、BE之间的数量关系是．
应用：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼．捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航．渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛．下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象．（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）

（1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式；
（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离．
（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，直接写出渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？

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