问题提出

（1）如图①，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ ，请画出 $\mathit{\Delta ABC}$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 对称的三角形．

问题探究

（2）如图②，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AD}=6$ ， $\mathit{AE}=4$ ， $\mathit{AF}=2$ ，是否在边 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 上分别存在点 $G$ 、 $H$ ，使得四边形 $\mathit{EFGH}$ 的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）如图③，有一矩形板材 $\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{AB}=3$ 米， $\mathit{AD}=6$ 米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形 $\mathit{EFGH}$ 部件，使 $\angle \mathit{EFG}=90°$ ， $\mathit{EF}=\mathit{FG}=\sqrt{5}$ 米， $\angle \mathit{EHG}=45°$ ，经研究，只有当点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别在边 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 上，且 $\mathit{AF}<\mathit{BF}$ ，并满足点 $H$ 在矩形 $\mathit{ABCD}$ 内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形 $\mathit{EFGH}$ 部件？若能，求出裁得的四边形 $\mathit{EFGH}$ 部件的面积；若不能，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 作图-轴对称变换 矩形的性质 全等三角形的判定与性质