小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午-优题课

小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部 $B$ ，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点 $D$ ，并在点 $D$ 处安装了测量器 $DC$ ，测得古树的顶端 $A$ 的仰角为 $45 °$ ；再在 $BD$ 的延长线上确定一点 $G$ ，使 $DG = 5$ 米，并在 $G$ 处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着 $BG$ 方向移动，当移动到点 $F$ 时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 $A$ 的像，此时，测得 $FG = 2$ 米，小明眼睛与地面的距离 $EF = 1.6$ 米，测倾器的高度 $CD = 0.5$ 米．已知点 $F$ 、 $G$ 、 $D$ 、 $B$ 在同一水平直线上，且 $EF$ 、 $CD$ 、 $AB$ 均垂直于 $FB$ ，求这棵古树的高度 $AB$ ．（小平面镜的大小忽略不计）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = ax + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于点 $A (- 4, - 2)$ ， $B (m, 4)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ．

（1）求此反比例函数和一次函数的表达式；

（2）求点 $C$ 的坐标及 $ΔAOB$ 的面积．

如图，在一次测量活动中，小丽站在离树底部 $E$ 处 $5 m$ 的 $B$ 处仰望树顶 $C$ ，仰角为 $30 °$ ，已知小丽的眼睛离地面的距离 $AB$ 为 $1.65 m$ ，那么这棵树大约有多高？（结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

某学校在落实国家“营养餐”工程中，选用了 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 种不同类型的套餐．实行一段时间后，学校决定在全校范围内随机抽取部分学生对“你喜欢的套餐类型（必选且只选一种）”进行问卷调查，将调查情况整理后，绘制成如图所示的两个统计图．

请你根据以上信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了　　名学生；

（2）请补全条形统计图；

（3）如果全校有1200名学生，请你估计其中喜欢 $D$ 套餐的学生的人数．

已知二次函数 $y ＝ x^{2} ﹣（ 2 k + 1 ） x + k^{2} + k （ k ＞ 0 ）$

（1）当 $k ＝ \frac{1}{2}$ 时，求这个二次函数的顶点坐标；

（2）求证：关于x的一元二次方程

有两个不相等的实数根；

（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且 $OP ＝ 1$ ，直线AP交BC于点Q，求证： $\frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{A B^{2}} = \frac{1}{A Q^{2}}$ ．

已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形

（1）求证：△DFB是等腰三角形；

（2）若 $DA ＝ \sqrt{7} AF$ ，求证： $CF ⊥ AB$ ．

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