请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德(-优题课

请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德折弦定理

阿基米德 $(archimedes$ ，公元前 $287 -$ 公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．

阿拉伯 $Al - Binmi (973 - 1050$ 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据 $Al - Binmi$ 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1， $AB$ 和 $BC$ 是 $⊙ O$ 的两条弦（即折线 $ABC$ 是圆的一条折弦）， $BC > AB$ ， $M$ 是 $\hat{ABC}$ 的中点，则从 $M$ 向 $BC$ 所作垂线的垂足 $D$ 是折弦 $ABC$ 的中点，即 $CD = AB + BD$ ．下面是运用"截长法"证明 $CD = AB + BD$ 的部分证明过程．证明：如图2，在 $CB$ 上截取 $CG = AB$ ，连接 $MA$ ， $MB$ ， $MC$ 和 $MG$ ．

$∵ M$ 是 $\hat{ABC}$ 的中点，

$∴ MA = MC$ ．

$\dots$

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图3，已知等边 $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AB = 2$ ， $D$ 为 $\hat{AC}$ 上一点， $∠ ABD = 45 °$ ， $AE ⊥ BD$ 于点 $E$ ，则 $ΔBDC$ 的周长是　．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆的认识三角形的外接圆与外心全等三角形的判定与性质等腰三角形的性质等边三角形的性质