请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德 ，公元前 公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦）， ， 是 的中点，则从 向 所作垂线的垂足 是折弦 的中点，即 ．下面是运用"截长法"证明 的部分证明过程．证明：如图2，在 上截取 ，连接 ， ， 和 ．
是 的中点，
．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边 内接于 ， ， 为 上一点， ， 于点 ，则 的周长是 ．
红旗连锁超市花2000购进一批糖果，按 的利润定价无人购买，决定降价出售，但仍无人购买．结果又一次降价后才售完，但仍盈利 ，两次降价的百分率相同，问每次降价的百分率是多少？
如图，四边形 是平行四边形，延长 至 ，延长 至 ，使得 ，连接 交 于 ，交 于 ．求证： ．
如图，抛物线 与 轴交于 、 两点， 点坐标为 ，与 轴交于点
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形 的面积最大时，求点 的坐标和四边形 的最大面积．
（3）直线 经过 、 两点，点 在抛物线位于 轴左侧的部分上运动，直线 经过点 和点 ，是否存在直线 ，使得直线 、 与 轴围成的三角形和直线 、 与 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线 的解析式，若不存在，请说明理由．
如图，在 中， 为直角， ， ，半径为2的动圆圆心 从点 出发，沿着 方向以1个单位长度 秒的速度匀速运动，同时动点 从点 出发，沿着 方向也以1个单位长度 秒的速度匀速运动，设运动时间为 秒 以 为圆心， 长为半径的 与 、 的另一个交点分别为 、 ，连接 、 ．
（1）当 为何值时，点 与点 重合？
（2）当 经过点 时，求 被 截得的弦长．
（3）若 与线段 只有一个公共点，求 的取值范围．
如图，在矩形 中，点 在边 上，且 ，过点 作 ，垂足为点
（1）求证： ；
（2）以 为圆心， 长为半径作圆弧交 于点 ，若 ，求扇形 的面积．（结果保留
