如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y13x2233x3与x轴-优题课

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点为点 $E$ ．

（1）判断 $ΔABC$ 的形状，并说明理由；

（2）经过 $B$ ， $C$ 两点的直线交抛物线的对称轴于点 $D$ ，点 $P$ 为直线 $BC$ 上方抛物线上的一动点，当 $ΔPCD$ 的面积最大时， $Q$ 从点 $P$ 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 $M$ 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 $y$ 轴上的点 $N$ 处，最后沿适当的路径运动到点 $A$ 处停止．当点 $Q$ 的运动路径最短时，求点 $N$ 的坐标及点 $Q$ 经过的最短路径的长；

（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点 $E$ 在射线 $AE$ 上移动，点 $E$ 平移后的对应点为点 $E'$ ，点 $A$ 的对应点为点 $A'$ ，将 $ΔAOC$ 绕点 $O$ 顺时针旋转至△ $A_{1} O C_{1}$ 的位置，点 $A$ ， $C$ 的对应点分别为点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ，且点 $A_{1}$ 恰好落在 $AC$ 上，连接 $C_{1} A'$ ， $C_{1} E'$ ，△ $A' C_{1} E'$ 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 $E'$ 的坐标；若不能，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数图象与几何变换二次函数的最值二次函数综合题等腰三角形的性质等边三角形的判定与性质勾股定理的逆定理

求不等式组 $\{\begin{matrix} 5 x - 3 ＜ 4 x \\ 4 (x + 1) + 2 \geq x \end{matrix}$ 的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来．

已知：如图，在四边形ABCD中， $AB ∥ CD$ ，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．

在读书月活动中，某校号召全体师生积极捐书，为了解所捐书籍的种类，图书管理员对部分书籍进行了抽样调查，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图表．请你根据统计图表所提供的信息回答下面问题：

某校师生捐书种类情况统计表

种类	频数	百分比
A．科普类	12	n
B．文学类	14	35%
C．艺术类	m	20%
D．其它类	6	15%

（1）统计表中的m＝　　，n＝　　；

（2）补全条形统计图；

（3）本次活动师生共捐书2000本，请估计有多少本科普类图书？

已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 $A （﹣ 1 ， 2 ）$ 、 $B （﹣ 2 ， 1 ）$ 、 $C （ 1 ， 1 ）$ （正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．

（1）△A₁B₁C₁是△ABC绕点　　逆时针旋转　　度得到的，B₁的坐标是　　；

（2）求出线段AC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．

如图①，直线 $y ＝ \frac{4}{3} x + 4$ 交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F₁交x轴于另一点B（1，0）．

（1）求抛物线F₁所表示的二次函数的表达式；

（2）若点M是抛物线F₁位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S_四边形_MAOC和S_△_BOC，记 $S ＝ S_{四边形 MAOC} ﹣ S_{△ BOC}$ ，求S最大时点M的坐标及S的最大值；

（3）如图②，将抛物线F₁沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F₂，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．