《道德经》中的道生一，一生二，二生三，三生万物道出了自然数的-优题课

《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数 $-$ “纯数”．

定义；对于自然数 $n$ ，在计算 $n + (n + 1) + (n + 2)$ 时，各数位都不产生进位，则称这个自然数 $n$ 为“纯数”，

例如：32是”纯数”，因为计算 $32 + 33 + 34$ 时，各数位都不产生进位；

23不是“纯数”，因为计算 $23 + 24 + 25$ 时，个位产生了进位．

（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；

（2）求出不大于100的“纯数”的个数．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：整式的加减有理数的加法

关于三角函数有如下公式： $\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β$ ， $\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$

$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$ ， $\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$

$\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} (1 - \tan α \tan β \neq 0)$

$\tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β} (1 + \tan α \tan β \neq 0)$

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．

如： $\tan 105 ° = \tan (45 ° + 60 °) = \frac{\tan 45 ° + \tan 60 °}{1 - \tan 45 ° \tan 60 °} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = - 2 - \sqrt{3}$

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面问题：

如图，两座建筑物 $AB$ 和 $DC$ 的水平距离 $BC$ 为24米，从点 $A$ 测得点 $D$ 的俯角 $α = 15 °$ ，测得点 $C$ 的俯角 $β = 75 °$ ，求建筑物 $CD$ 的高度．

2017年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”．为了加快创建步伐，某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15吨；3辆大型渣土运输车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨．

（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？

（2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出7辆，问该渣土运输公司有几种派出方案？

（3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输花费500元 $/$ 次，一辆小型渣土运输车运输花费300元 $/$ 次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算？

在一次社会调查活动中，小李收集到某“健步走运动”团队20名成员一天行走的步数，记录如下：

对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下不完整的统计图表，步数分布统计图．

根据以上信息解答下列问题：

（1）填空： $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）请补全条形统计图；

（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走的步数的中位数落在　　组；

（4）若该团队共有200人，请估计其中一天行走步数少于8500步的人数．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $BD$ 为对角线， $AE ⊥ BD$ ， $CF ⊥ BD$ ，垂足分别为 $E$ 、 $F$ ，连接 $AF$ 、 $CE$ ．

求证： $AF = CE$ ．

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $B$ 点坐标为 $(3, 0)$ ．与 $y$ 轴交于点 $C (0, 3)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 在 $x$ 轴下方的抛物线上，过点 $P$ 的直线 $y = x + m$ 与直线 $BC$ 交于点 $E$ ，与 $y$ 轴交于点 $F$ ，求 $PE + EF$ 的最大值；

（3）点 $D$ 为抛物线对称轴上一点．

①当 $ΔBCD$ 是以 $BC$ 为直角边的直角三角形时，求点 $D$ 的坐标；

②若 $ΔBCD$ 是锐角三角形，求点 $D$ 的纵坐标的取值范围．