如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=x^2-2x-3$与$x$轴交于点$A$，$B$（点$A$在点$B$的左侧），交$y$轴于点$C$，点$D$为抛物线的顶点，对称轴与$x$轴交于点$E$．

（1）连结$\mathit{BD}$，点$M$是线段$\mathit{BD}$上一动点（点$M$不与端点$B$，$D$重合），过点$M$作$\mathit{MN}\perp \mathit{BD}$，交抛物线于点$N$（点$N$在对称轴的右侧），过点$N$作$\mathit{NH}\perp x$轴，垂足为$H$，交$\mathit{BD}$于点$F$，点$P$是线段$\mathit{OC}$上一动点，当$\mathit{MN}$取得最大值时，求$\mathit{HF}+\mathit{FP}+\frac{1}{3}\mathit{PC}$的最小值；

（2）在（1）中，当$\mathit{MN}$取得最大值，$\mathit{HF}+\mathit{FP}+\frac{1}{3}\mathit{PC}$取得最小值时，把点$P$向上平移$\frac{\sqrt{2}}{2}$个单位得到点$Q$，连结$\mathit{AQ}$，把$\mathit{\Delta AOQ}$绕点$O$顺时针旋转一定的角度$\alpha (0°<\alpha <360°)$，得到△$A\text{'}\mathit{OQ}\text{'}$，其中边$A\text{'}Q\text{'}$交坐标轴于点$G$．在旋转过程中，是否存在一点$G$，使得$\angle Q^{\text{'}}=\angle Q^{\text{'}}\mathit{OG}$？若存在，请直接写出所有满足条件的点$Q\text{'}$的坐标；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 旋转的性质 二次函数的性质 解直角三角形 二次函数综合题