小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与-优题课

题文

小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在 $ΔABC$ 中， $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，正方形 $PQMN$ 的边 $QM$ 在 $BC$ 上，顶点 $P$ ， $N$ 分别在 $AB$ ， $AC$ 上，若 $BC = 6$ ， $AD = 4$ ，求正方形 $PQMN$ 的边长．

（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画 $ΔABC$ ，在 $AB$ 上任取一点 $P^{'}$ ，画正方形 $P^{'} Q^{'} M^{'} N^{'}$ ，使 $Q^{'}$ ， $M^{'}$ 在 $BC$ 边上， $N^{'}$ 在 $ΔABC$ 内，连结 $B N^{'}$ 并延长交 $AC$ 于点 $N$ ，画 $NM ⊥ BC$ 于点 $M$ ， $NP ⊥ NM$ 交 $AB$ 于点 $P$ ， $PQ ⊥ BC$ 于点 $Q$ ，得到四边形 $PPQMN$ ．小波把线段 $BN$ 称为“波利亚线”．

（3）推理：证明图2中的四边形 $PQMN$ 是正方形．

（4）拓展：在（2）的条件下，在射线 $BN$ 上截取 $NE = NM$ ，连结 $EQ$ ， $EM$ （如图 $3)$ ．当 $\tan ∠ NBM = \frac{3}{4}$ 时，猜想 $∠ QEM$ 的度数，并尝试证明．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似三角形的判定与性质相似形综合题正方形的判定与性质

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如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．

（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
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国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价（万元）之间满足关系式，月产量x（套）与生产总成本（万元）存在如图所示的函数关系.

（1）直接写出与x之间的函数关系式；
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（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？

如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连结BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连结DF．

（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE=，求EF的长．

如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为边 $A B$ 、 $A D$ 的中点，连接 $E F$ 、 $O E$ 、 $O F$ .求证：四边形 $A E O F$ 是菱形.

如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧， BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，连接PM、PN；
(1) 延长MP交CN于点E(如图2)。j求证：△BPM@△CPE；k求证：PM = PN；
(2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3) 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN
的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。

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