小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在$\mathit{\Delta ABC}$中，$\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点$D$，正方形$\mathit{PQMN}$的边$\mathit{QM}$在$\mathit{BC}$上，顶点$P$，$N$分别在$\mathit{AB}$，$\mathit{AC}$上，若$\mathit{BC}=6$，$\mathit{AD}=4$，求正方形$\mathit{PQMN}$的边长．

（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画$\mathit{\Delta ABC}$，在$\mathit{AB}$上任取一点$P^{\text{'}}$，画正方形$P^{\text{'}}{Q}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}{N}^{\text{'}}$，使$Q^{\text{'}}$，$M^{\text{'}}$在$\mathit{BC}$边上，$N^{\text{'}}$在$\mathit{\Delta ABC}$内，连结$B{N}^{\text{'}}$并延长交$\mathit{AC}$于点$N$，画$\mathit{NM}\perp \mathit{BC}$于点$M$，$\mathit{NP}\perp \mathit{NM}$交$\mathit{AB}$于点$P$，$\mathit{PQ}\perp \mathit{BC}$于点$Q$，得到四边形$\mathit{PPQMN}$．小波把线段$\mathit{BN}$称为“波利亚线”．

（3）推理：证明图2中的四边形$\mathit{PQMN}$是正方形．

（4）拓展：在（2）的条件下，在射线$\mathit{BN}$上截取$\mathit{NE}=\mathit{NM}$，连结$\mathit{EQ}$，$\mathit{EM}$（如图$3)$．当$\tan \angle \mathit{NBM}=\frac{3}{4}$时，猜想$\angle \mathit{QEM}$的度数，并尝试证明．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 相似三角形的判定与性质 相似形综合题 正方形的判定与性质