定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a,b)，B(c,-优题课

定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 $A (a, b)$ ， $B (c, d)$ ，若点 $T (x, y)$ 满足 $x = \frac{a + c}{3}$ ， $y = \frac{b + d}{3}$ 那么称点 $T$ 是点 $A$ ， $B$ 的融合点．

例如： $A (- 1, 8)$ ， $B (4, - 2)$ ，当点 $T (x, y)$ 满足 $x = \frac{- 1 + 4}{3} = 1$ ， $y = \frac{8 + (- 2)}{3} = 2$ 时，则点 $T (1, 2)$ 是点 $A$ ， $B$ 的融合点．

（1）已知点 $A (- 1, 5)$ ， $B (7, 7)$ ， $C (2, 4)$ ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点．

（2）如图，点 $D (3, 0)$ ，点 $E (t, 2 t + 3)$ 是直线 $l$ 上任意一点，点 $T (x, y)$ 是点 $D$ ， $E$ 的融合点．

①试确定 $y$ 与 $x$ 的关系式．

②若直线 $ET$ 交 $x$ 轴于点 $H$ ．当 $ΔDTH$ 为直角三角形时，求点 $E$ 的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形一次函数综合题

四边形 $ABCD$ 的对角线交于点 $E$ ，有 $AE = EC$ ， $BE = ED$ ，以 $AB$ 为直径的半圆过点 $E$ ，圆心为 $O$ ．

（1）利用图1，求证：四边形 $ABCD$ 是菱形．

（2）如图2，若 $CD$ 的延长线与半圆相切于点 $F$ ，已知直径 $AB = 8$ ．

①连接 $OE$ ，求 $ΔOBE$ 的面积．

②求弧 $AE$ 的长．

如图，直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x - \sqrt{3}$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 图象交于点 $C$ ， $D$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交该反比例函数图象于点 $E$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标．

（2）若 $AE = AC$ ．

①求 $k$ 的值．

②试判断点 $E$ 与点 $D$ 是否关于原点 $O$ 成中心对称？并说明理由．

如图1表示同一时刻的韩国首尔时间和北京时间，两地时差为整数．

（1）设北京时间为 $x$ （时 $)$ ，首尔时间为 $y$ （时 $)$ ，就 $0 ⩽ x ⩽ 12$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式，并填写下表（同一时刻的两地时间）．

北京时间	$7 : 30$		$2 : 50$
首尔时间		$12 : 15$

（2）如图2表示同一时刻的英国伦敦时间（夏时制）和北京时间，两地时差为整数．如果现在伦敦（夏时制）时间为 $7 : 30$ ，那么此时韩国首尔时间是多少？

某校组织学生排球垫球训练，训练前后，对每个学生进行考核．现随机抽取部分学生，统计了训练前后两次考核成绩，并按“ $A$ ， $B$ ， $C$ ”三个等次绘制了如图不完整的统计图．试根据统计图信息，解答下列问题：

（1）抽取的学生中，训练后“ $A$ ”等次的人数是多少？并补全统计图．

（2）若学校有600名学生，请估计该校训练后成绩为“ $A$ ”等次的人数．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $O$ 为坐标原点，点 $B$ 的坐标为 $(4, 3)$ ，点 $A$ 、 $C$ 在坐标轴上，点 $P$ 在 $BC$ 边上，直线 $l_{1} : y = 2 x + 3$ ，直线 $l_{2} : y = 2 x - 3$ ．

（1）分别求直线 $l_{1}$ 与 $x$ 轴，直线 $l_{2}$ 与 $AB$ 的交点坐标；

（2）已知点 $M$ 在第一象限，且是直线 $l_{2}$ 上的点，若 $ΔAPM$ 是等腰直角三角形，求点 $M$ 的坐标；

（3）我们把直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 上的点所组成的图形为图形 $F$ ．已知矩形 $ANPQ$ 的顶点 $N$ 在图形 $F$ 上， $Q$ 是坐标平面内的点，且 $N$ 点的横坐标为 $x$ ，请直接写出 $x$ 的取值范围（不用说明理由）．