如图，矩形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AB}=a$，$\mathit{BC}=b$，点$M$，$N$分别在边$\mathit{AB}$，$\mathit{CD}$上，点$E$，$F$分别在边$\mathit{BC}$，$\mathit{AD}$上，$\mathit{MN}$，$\mathit{EF}$交于点$P$，记$k=\mathit{MN}:\mathit{EF}$．

（1）若$a:b$的值为1，当$\mathit{MN}\perp \mathit{EF}$时，求$k$的值．

（2）若$a:b$的值为$\frac{1}{2}$，求$k$的最大值和最小值．

（3）若$k$的值为3，当点$N$是矩形的顶点，$\angle \mathit{MPE}=60°$，$\mathit{MP}=\mathit{EF}=3\mathit{PE}$时，求$a:b$的值．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 相似三角形的判定与性质 矩形的性质 全等三角形的判定与性质 正方形的性质 相似形综合题