小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与-优题课

小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在 $ΔABC$ 中， $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，正方形 $PQMN$ 的边 $QM$ 在 $BC$ 上，顶点 $P$ ， $N$ 分别在 $AB$ ， $AC$ 上，若 $BC = a$ ， $AD = h$ ，求正方形 $PQMN$ 的边长（用 $a$ ， $h$ 表示）．

（2）操作：如何画出这个正方形 $PQMN$ 呢？

如图2，小波画出了图1的 $ΔABC$ ，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在 $AB$ 上任取一点 $P^{'}$ ，画正方形 $P^{'} Q^{'} M^{'} N^{'}$ ，使点 $Q^{'}$ ， $M^{'}$ 在 $BC$ 边上，点 $N^{'}$ 在 $ΔABC$ 内，然后连结 $B N^{'}$ ，并延长交 $AC$ 于点 $N$ ，画 $NM ⊥ BC$ 于点 $M$ ， $NP ⊥ NM$ 交 $AB$ 于点 $P$ ， $PQ ⊥ BC$ 于点 $Q$ ，得到四边形 $PQMN$ ．

（3）推理：证明图2中的四边形 $PQMN$ 是正方形．

（4）拓展：小波把图2中的线段 $BN$ 称为“波利亚线”，在该线上截取 $NE = NM$ ，连结 $EQ$ ， $EM$ （如图 $3)$ ，当 $∠ QEM = 90 °$ 时，求“波利亚线” $BN$ 的长（用 $a$ ， $h$ 表示）．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：相似三角形的判定与性质正方形的判定相似形综合题