如图1，在$\mathit{\Delta ABC}$中，$\mathit{AB}=\mathit{AC}=20$，$\tan B=\frac{3}{4}$，点$D$为$\mathit{BC}$边上的动点（点$D$不与点$B$，$C$重合）．以$D$为顶点作$\angle \mathit{ADE}=\angle B$，射线$\mathit{DE}$交$\mathit{AC}$边于点$E$，过点$A$作$\mathit{AF}\perp \mathit{AD}$交射线$\mathit{DE}$于点$F$，连接$\mathit{CF}$．

（1）求证：$\mathit{\Delta ABD}\backsim \mathit{\Delta DCE}$；

（2）当$\mathit{DE}//\mathit{AB}$时（如图$2)$，求$\mathit{AE}$的长；

（3）点$D$在$\mathit{BC}$边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得$\mathit{DF}=\mathit{CF}$？若存在，求出此时$\mathit{BD}$的长；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 解直角三角形 相似三角形的判定与性质 相似形综合题 等腰三角形的判定与性质