如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，-优题课

题文

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $OE ⊥ BC$ 于点 $H$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，点 $D$ 为 $OE$ 的延长线上一点， $DC$ 的延长线与 $BA$ 的延长线交于点 $F$ ，且 $∠ BOD = ∠ BCD$ ，连结 $BD$ 、 $AC$ 、 $CE$ ．

（1）求证： $DF$ 为 $⊙ O$ 的切线；

（2）过 $E$ 作 $EG ⊥ FD$ 于点 $G$ ，求证： $ΔCHE ≅ ΔCGE$ ；

（3）如果 $AF = 1$ ， $\sin ∠ FCA = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $EG$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：锐角三角函数的定义垂径定理相似三角形的判定与性质切线的判定与性质圆的综合题

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一个正方形的边长增加后的正方形面积比它的边长增加后的面积多．若设原来这个正方形的边长为,
（1）当边长增加3 时，则正方形的面积为；当边长增加后，正方形的面积为．（均用含的代数式表示）
（2）求原来这个正方形的面积

已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．

先化简，再求值（每小题6分，计12分）：
（1），其中；
（2），其中=－2。

（本小题10分）已知二次函数（ b，c为常数）．
（Ⅰ）当b =2，c =-3时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当c=b²时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．

（本小题10分）将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′．设OM =m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．

图①

（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点A′落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；
（Ⅲ）当S=

时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．

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