如图，$\mathit{AB}$是$\odot O$的直径，点$C$为$\odot O$上一点，$\mathit{OE}\perp \mathit{BC}$于点$H$，交$\odot O$于点$E$，点$D$为$\mathit{OE}$的延长线上一点，$\mathit{DC}$的延长线与$\mathit{BA}$的延长线交于点$F$，且$\angle \mathit{BOD}=\angle \mathit{BCD}$，连结$\mathit{BD}$、$\mathit{AC}$、$\mathit{CE}$．

（1）求证：$\mathit{DF}$为$\odot O$的切线；

（2）过$E$作$\mathit{EG}\perp \mathit{FD}$于点$G$，求证：$\mathit{\Delta CHE}\cong \mathit{\Delta CGE}$；

（3）如果$\mathit{AF}=1$，$\sin \angle \mathit{FCA}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$\mathit{EG}$的长．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 锐角三角函数的定义 垂径定理 相似三角形的判定与性质 切线的判定与性质 圆的综合题