某商店准备购进A、B两种商品，A种商品毎件的进价比B种商品每-优题课

某商店准备购进 $A$ 、 $B$ 两种商品， $A$ 种商品毎件的进价比 $B$ 种商品每件的进价多20元，用3000元购进 $A$ 种商品和用1800元购进 $B$ 种商品的数量相同．商店将 $A$ 种商品每件的售价定为80元， $B$ 种商品每件的售价定为45元．

（1） $A$ 种商品每件的进价和 $B$ 种商品每件的进价各是多少元？

（2）商店计划用不超过1560元的资金购进 $A$ 、 $B$ 两种商品共40件，其中 $A$ 种商品的数量不低于 $B$ 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？

（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件 $A$ 种商品售价优惠 $m (10 < m < 20)$ 元， $B$ 种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：分式方程的应用一元一次不等式组的应用一次函数的应用

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AD = 4$ ，点 $E$ 在边 $AD$ 上，连接 $CE$ ，以 $CE$ 为边向右上方作正方形 $CEFG$ ，作 $FH ⊥ AD$ ，垂足为 $H$ ，连接 $AF$ ．

（1）求证： $FH = ED$ ；

（2）当 $AE$ 为何值时， $ΔAEF$ 的面积最大？

在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：

类别	家庭藏书 $m$ 本	学生人数
$A$	$0 ⩽ m ⩽ 25$	20
$B$	$26 ⩽ m ⩽ 100$	$a$
$C$	$101 ⩽ m ⩽ 200$	50
$D$	$m ⩾ 201$	66

根据以上信息，解答下列问题：

（1）该调查的样本容量为　　， $a =$ 　　；

（2）在扇形统计图中，“ $A$ ”对应扇形的圆心角为　　 $°$ ；

（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书200本以上的人数．

不透明的袋中装有1个红球与2个白球，这些球除颜色外都相同，将其搅匀．

（1）从中摸出1个球，恰为红球的概率等于　 $\frac{1}{3}$ 　；

（2）从中同时摸出2个球，摸到红球的概率是多少？（用画树状图或列表的方法写出分析过程）

已知：如图，一次函数 $y = kx - 1$ 的图象经过点 $A (3 \sqrt{5}$ ， $m) (m > 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．点 $C$ 在线段 $AB$ 上，且 $BC = 2 AC$ ，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $D$ ．若 $AC = CD$ ．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下、以直线 $CD$ 为对称轴的抛物线经过点 $A$ ，它的顶点为 $P$ ，若过点 $P$ 且垂直于 $AP$ 的直线与 $x$ 轴的交点为 $Q (- \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ， $0)$ ，求这条抛物线的函数表达式．

如图，矩形 $ABCD$ 中， $AB = m$ ， $BC = n$ ，将此矩形绕点 $B$ 顺时针方向旋转 $θ (0 ° < θ < 90 °)$ 得到矩形 $A_{1} B C_{1} D_{1}$ ，点 $A_{1}$ 在边 $CD$ 上．

（1）若 $m = 2$ ， $n = 1$ ，求在旋转过程中，点 $D$ 到点 $D_{1}$ 所经过路径的长度；

（2）将矩形 $A_{1} B C_{1} D_{1}$ 继续绕点 $B$ 顺时针方向旋转得到矩形 $A_{2} B C_{2} D_{2}$ ，点 $D_{2}$ 在 $BC$ 的延长线上，设边 $A_{2} B$ 与 $CD$ 交于点 $E$ ，若 $\frac{A_{1} E}{EC} = \sqrt{6} - 1$ ，求 $\frac{n}{m}$ 的值．