如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分-优题课

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题文

如图， $▱ ABCD$ 的对角线 $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $O$ ， $EF$ 经过 $O$ ，分别交 $AB$ 、 $CD$ 于点 $E$ 、 $F$ ， $EF$ 的延长线交 $CB$ 的延长线于 $M$ ．

（1）求证： $OE = OF$ ；

（2）若 $AD = 4$ ， $AB = 6$ ， $BM = 1$ ，求 $BE$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行四边形的性质相似三角形的判定与性质全等三角形的判定全等三角形的判定与性质

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甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．

"中国结"是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有"中国结"图案的不透明卡片 $A$ ， $B$ ， $C$ ，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有 $A$ 卡片的概率．

先化简，再求值： ${(a + 1)}^{2} + a (1 - a) - 1$ ，其中 $a = \sqrt{7}$ ．

在平面直角坐标系中，函数 $y = x^{2} - 2 ax - 1 (a$ 为常数）的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标．

（2）当此函数图象经过点 $(1, 2)$ 时，求此函数的表达式，并写出函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大时 $x$ 的取值范围．

（3）当 $x ⩽ 0$ 时，若函数 $y = x^{2} - 2 ax - 1 (a$ 为常数）的图象的最低点到直线 $y = 2 a$ 的距离为2，求 $a$ 的值．

（4）设 $a < 0$ ， $Rt Δ EFG$ 三个顶点的坐标分别为 $E (- 1, - 1)$ 、 $F (- 1, a - 1)$ 、 $G (0, a - 1)$ ．当函数 $y = x^{2} - 2 ax - 1 (a$ 为常数）的图象与 $ΔEFG$ 的直角边有交点时，交点记为点 $P$ ．过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $P' (P'$ 与 $P$ 不重合），过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 $A'$ ．若 $AA' = 2 PP'$ ，直接写出 $a$ 的值．

如图①，在 $ΔABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ， $AB = 4$ ， $BC = 3$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $AB - BC$ 以每秒5个单位长度的速度向点 $C$ 运动，同时点 $D$ 从点 $C$ 出发，沿 $CA$ 以每秒2个单位长度的速度向点 $A$ 运动，点 $P$ 到达点 $C$ 时，点 $P$ 、 $D$ 同时停止运动．当点 $P$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合时，作点 $P$ 关于直线 $AC$ 的对称点 $Q$ ，连结 $PQ$ 交 $AC$ 于点 $E$ ，连结 $DP$ 、 $DQ$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

（1）当点 $P$ 与点 $B$ 重合时，求 $t$ 的值．

（2）用含 $t$ 的代数式表示线段 $CE$ 的长．

（3）当 $ΔPDQ$ 为锐角三角形时，求 $t$ 的取值范围．

（4）如图②，取 $PD$ 的中点 $M$ ，连结 $QM$ ．当直线 $QM$ 与 $ΔABC$ 的一条直角边平行时，直接写出 $t$ 的值．

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