小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究-优题课

小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．

（一 $)$ 猜测探究

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $M$ 是平面内任意一点，将线段 $AM$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转与 $∠ BAC$ 相等的角度，得到线段 $AN$ ，连接 $NB$ ．

（1）如图1，若 $M$ 是线段 $BC$ 上的任意一点，请直接写出 $∠ NAB$ 与 $∠ MAC$ 的数量关系是　 $∠ NAB = ∠ MAC$ 　， $NB$ 与 $MC$ 的数量关系是　　；

（2）如图2，点 $E$ 是 $AB$ 延长线上点，若 $M$ 是 $∠ CBE$ 内部射线 $BD$ 上任意一点，连接 $MC$ ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．

（二 $)$ 拓展应用

如图3，在△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 8$ ， $∠ A_{1} B_{1} C_{1} = 60 °$ ， $∠ B_{1} A_{1} C_{1} = 75 °$ ， $P$ 是 $B_{1} C_{1}$ 上的任意点，连接 $A_{1} P$ ，将 $A_{1} P$ 绕点 $A_{1}$ 按顺时针方向旋转 $75 °$ ，得到线段 $A_{1} Q$ ，连接 $B_{1} Q$ ．求线段 $B_{1} Q$ 长度的最小值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：旋转的性质垂线段最短解直角三角形几何变换综合题全等三角形的判定与性质等腰三角形的性质