如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点(2,2)，(1,54)-优题课

题文

如图，已知抛物线的对称轴是 $y$ 轴，且点 $(2, 2)$ ， $(1, \frac{5}{4})$ 在抛物线上，点 $P$ 是抛物线上不与顶点 $N$ 重合的一动点，过 $P$ 作 $PA ⊥ x$ 轴于 $A$ ， $PC ⊥ y$ 轴于 $C$ ，延长 $PC$ 交抛物线于 $E$ ，设 $M$ 是 $O$ 关于抛物线顶点 $N$ 的对称点， $D$ 是 $C$ 点关于 $N$ 的对称点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $N$ 的坐标；

（2）求证：四边形 $PMDA$ 是平行四边形；

（3）求证： $ΔDPE ∽ ΔPAM$ ，并求出当它们的相似比为 $\sqrt{3}$ 时的点 $P$ 的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式相似三角形的判定与性质二次函数综合题

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已知二次函数 $y = x^{2} + x + a$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (x_{1}$ ， $0)$ 、 $B (x_{2}$ ， $0)$ 两点，且 $\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = 1$ ，求 $a$ 的值．

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（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $OB = BF$ ， $EF = 4$ ，求 $AD$ 的长．

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