问题提出：

如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“$L$”形纸片，图②是一张$a\times b$的方格纸$(a\times b$的方格纸指边长分别为$a$，$b$的矩形，被分成$a\times b$个边长为1的小正方形，其中$a⩾2$，$b⩾2$，且$a$，$b$为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．

探究一：

把图①放置在$2\times 2$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于$2\times 2$的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．

探究二：

把图①放置在$3\times 2$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在$3\times 2$的方格纸中，共可以找到2个位置不同的$2\times 2$方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在$3\times 2$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有$2\times 4=8$种不同的放置方法．

探究三：

把图①放置在$a\times 2$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤，在$a\times 2$的方格纸中，共可以找到　$(a-1)$　个位置不同的$2\times 2$方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在$a\times 2$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　　种不同的放置方法．

探究四：

把图①放置在$a\times 3$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在$a\times 3$的方格纸中，共可以找到　　个位置不同的$2\times 2$方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在$a\times 3$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有　　种不同的放置方法．

$\dots \dots$

问题解决：

把图①放置在$a\times b$的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．$)$

问题拓展：

如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为$a$，$b$，$c(a⩾2$，$b⩾2$，$c⩾2$，且$a$，$b$，$c$是正整数）的长方体，被分成了$a\times b\times c$个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到　　个图⑦这样的几何体．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 认识立体图形 规律型：图形的变化类