如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD5-优题课

题文

如图一，在射线 $DE$ 的一侧以 $AD$ 为一条边作矩形 $ABCD$ ， $AD = 5 \sqrt{3}$ ， $CD = 5$ ，点 $M$ 是线段 $AC$ 上一动点（不与点 $A$ 重合），连结 $BM$ ，过点 $M$ 作 $BM$ 的垂线交射线 $DE$ 于点 $N$ ，连接 $BN$ ．

（1）求 $∠ CAD$ 的大小；

（2）问题探究：动点 $M$ 在运动的过程中，

①是否能使 $ΔAMN$ 为等腰三角形，如果能，求出线段 $MC$ 的长度；如果不能，请说明理由．

② $∠ MBN$ 的大小是否改变？若不改变，请求出 $∠ MBN$ 的大小；若改变，请说明理由．

（3）问题解决：

如图二，当动点 $M$ 运动到 $AC$ 的中点时， $AM$ 与 $BN$ 的交点为 $F$ ， $MN$ 的中点为 $H$ ，求线段 $FH$ 的长度．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：解直角三角形矩形的性质全等三角形的判定与性质等边三角形的判定与性质四边形综合题

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(9分)如图(1)，正方形ABCD中，点H从点C出发，沿CB运动到点B停止．连
结DH交正方形对角线AC于点E，过点E作DH的垂线交线段AB、CD于点F、G．
（1）求证： DH＝FG；
（2）在图(1)中延长FG与BC交于点P，连结DF、DP（如图（2）），试探究DF与DP的关系，并说明理由．

(9分)某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，
售出了300件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出300件，批发商为增加销售量，决定
降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出15件，但最低单价应高于购进的价
格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第
二个月单价降低x元．
（1）填表（不需化简）：

（2）试写出批发商销售这批T恤的获得的总利润为y（元），试求出y与x之间的函数
关系式，并写出x的取值范围；
（3）当第二个月的销售单价为多少元时，才使得销售这批T恤获得的利润最大？

．(9分)如图，AB为⊙O内垂直于直径的弦，AB、CD相于点H，△AED与△AHD
关于直线AD成轴对称．
（1）试说明：AE为⊙O的切线；
（2）延长AE与CD交于点P，已知PA＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．

(7分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交于点A（－1，
0），与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B（，n）.连结OB，若S_△AOB＝1．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；

(7分)如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四
个顶点都在格点上，O为AD边的中点，若把四边形ABCD绕着点O顺时针旋转180°．
试解决下列问题：
（1）画出四边形ABCD旋转后的图形；
（2）设点C旋转后的对应点为C′，则tan∠AC′B＝▲；
(3) 求点C旋转过程中所经过的路径长．

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