如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB4，BC-优题课

题文

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，矩形 $ABCD$ 的边 $AB = 4$ ， $BC = 6$ ．若不改变矩形 $ABCD$ 的形状和大小，当矩形顶点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 $D$ 始终在 $y$ 轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当 $∠ OAD = 30 °$ 时，求点 $C$ 的坐标；

（2）设 $AD$ 的中点为 $M$ ，连接 $OM$ 、 $MC$ ，当四边形 $OMCD$ 的面积为 $\frac{21}{2}$ 时，求 $OA$ 的长；

（3）当点 $A$ 移动到某一位置时，点 $C$ 到点 $O$ 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 $\cos ∠ OAD$ 的值．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：锐角三角函数的定义坐标与图形性质相似三角形的判定与性质矩形的性质四边形综合题

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如图，在岷江的右岸边有一高楼 $AB$ ，左岸边有一坡度 $i = 1 : 2$ 的山坡 $CF$ ，点 $C$ 与点 $B$ 在同一水平面上， $CF$ 与 $AB$ 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼 $AB$ 的高度，在坡底 $C$ 处测得楼顶 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，然后沿坡面 $CF$ 上行了 $20 \sqrt{5}$ 米到达点 $D$ 处，此时在 $D$ 处测得楼顶 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，求楼 $AB$ 的高度．

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AB / / DC$ ，点 $E$ 是 $CD$ 的中点， $AE = BE$ ．求证： $∠ D = ∠ C$ ．

解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x + 7 ⩾ 5 (x - 1) \\ 3 x > \frac{x - 5}{2} \end{matrix}$

计算： ${(- \frac{1}{3})}^{- 2} - {(4 - \sqrt{3})}^{0} + 6 \sin 45 ° - \sqrt{18}$ ．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象经过点 $A (- 2, 0)$ ， $C (0, - 6)$ ，其对称轴为直线 $x = 2$ ．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若直线 $y = - \frac{1}{3} x + m$ 将 $ΔAOC$ 的面积分成相等的两部分，求 $m$ 的值；

（3）点 $B$ 是该二次函数图象与 $x$ 轴的另一个交点，点 $D$ 是直线 $x = 2$ 上位于 $x$ 轴下方的动点，点 $E$ 是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线 $x = 2$ 右侧．若以点 $E$ 为直角顶点的 $ΔBED$ 与 $ΔAOC$ 相似，求点 $E$ 的坐标．

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