四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连-优题课

题文

四边形 $ABCD$ 是 $⊙ O$ 的圆内接四边形，线段 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，连结 $AC$ 、 $BD$ ．点 $H$ 是线段 $BD$ 上的一点，连结 $AH$ 、 $CH$ ，且 $∠ ACH = ∠ CBD$ ， $AD = CH$ ， $BA$ 的延长线与 $CD$ 的延长线相交于点 $P$ ．

（1）求证：四边形 $ADCH$ 是平行四边形；

（2）若 $AC = BC$ ， $PB = \sqrt{5} PD$ ， $AB + CD = 2 (\sqrt{5} + 1)$

①求证： $ΔDHC$ 为等腰直角三角形；

②求 $CH$ 的长度．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆周角定理平行四边形的判定圆内接四边形的性质相似三角形的判定与性质等腰直角三角形

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如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．

（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD=，求线段AD的长．

化简：（-x+1）÷．

（1）探究新知：
①如图1，已知AD∥BC，AD=BC，点M，N是直线CD上任意两点．
求证：△ABM与△ABN的面积相等．
②如图2，已知AD∥BE，AD=BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点，试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．
（2）结论应用：
如图3，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D，试探究在抛物线y=ax²+bx+c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

已知半圆O的直径AB=4，沿它的一条弦折叠．

（1）如图，若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD：DB=3：1，求折痕EF的长；
（2）在使折叠后的圆弧与直径AB相切的过程中，请直接写出折痕EF的最大值和最小值．

如图，正方形ABCD、正方形A₁B₁C₁D₁和正方形A₂B₂C₂D₂均位于平面直角坐标系的第一象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中点A，A₁，A₂在直线OM上，点C，C₁，C₂在直线ON上，O为坐标原点，已知点A的坐标为（3，3），正方形ABCD的边长为1．

（1）求直线ON的函数解析式；
（2）若点C₁的横坐标为4，求正方形A₁B₁C₁D₁的边长；
（3）若正方形A₂B₂C₂D₂的边长为m，则点B₂的坐标为．（用含字母m的代数式表示．

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