对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数-优题课

对于三个数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，用 $M {a$ ， $b$ ， $c}$ 表示这三个数的中位数，用 $\max {a$ ， $b$ ， $c}$ 表示这三个数中最大数，例如： $M {- 2$ ， $- 1$ ， $0} = - 1$ ， $\max {- 2$ ， $- 1$ ， $0} = 0$ ， $\max {- 2$ ， $- 1$ ， $a} = \{\begin{matrix} a (a ⩾ - 1) \\ - 1 (a < - 1) \end{matrix}$

解决问题：

（1）填空： $M {\sin 45 °$ ， $\cos 60 °$ ， $\tan 60 °} =$ 　　，如果 $\max {3$ ， $5 - 3 x$ ， $2 x - 6} = 3$ ，则 $x$ 的取值范围为　　；

（2）如果 $2 \cdot M {2$ ， $x + 2$ ， $x + 4} = \max {2$ ， $x + 2$ ， $x + 4}$ ，求 $x$ 的值；

（3）如果 $M {9$ ， $x^{2}$ ， $3 x - 2} = \max {9$ ， $x^{2}$ ， $3 x - 2}$ ，求 $x$ 的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：中位数特殊角的三角函数值二次函数的应用

阅读与思考

如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

$\times$ 年 $\times$ 月 $\times$ 日星期日

没有直角尺也能作出直角

今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线 $AB$ ，现根据木板的情况，要过 $AB$ 上的一点 $C$ ，作出 $AB$ 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？

办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在 $AB$ 上量出 $CD = 30 cm$ ，然后分别以 $D$ ， $C$ 为圆心，以 $50 cm$ 与 $40 cm$ 为半径画圆弧，两弧相交于点 $E$ ，作直线 $CE$ ，则 $∠ DCE$ 必为 $90 °$ ．

办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出 $M$ ， $N$ 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点 $M$ 与点 $C$ 重合，用铅笔在木板上将点 $N$ 对应的位置标记为点 $Q$ ，保持点 $N$ 不动，将木棒绕点 $N$ 旋转，使点 $M$ 落在 $AB$ 上，在木板上将点 $M$ 对应的位置标记为点 $R$ ．然后将 $RQ$ 延长，在延长线上截取线段 $QS = MN$ ，得到点 $S$ ，作直线 $SC$ ，则 $∠ RCS = 90 °$ ．

我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ $\dots \dots$

任务：

（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是　　；

（2）根据“办法二”的操作过程，证明 $∠ RCS = 90 °$ ；

（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点 $C$ 作出 $AB$ 的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；

②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．

2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通， $5 G$ 基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域 $(5 G$ 基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）填空：图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是　300　亿元；

（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“ $5 G$ 基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向．请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；

（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为 $W$ ， $G$ ， $D$ ， $R$ ， $X$ 的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为 $W (5 G$ 基站建设）和 $R$ （人工智能）的概率．

如图，四边形 $OABC$ 是平行四边形，以点 $O$ 为圆心， $OC$ 为半径的 $⊙ O$ 与 $AB$ 相切于点 $B$ ，与 $AO$ 相交于点 $D$ ， $AO$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $EB$ 交 $OC$ 于点 $F$ ．求 $∠ C$ 和 $∠ E$ 的度数．

2020年5月份，省城太原开展了“活力太原 $\cdot$ 乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高 $50 %$ 后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．

（1）计算： ${(- 4)}^{2} \times {(- \frac{1}{2})}^{3} - (- 4 + 1)$ ．

（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x + 1}{2 x + 6}$

$= \frac{(x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)} \dots$ 第一步

$= \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)} \dots$ 第二步

$= \frac{2 (x - 3)}{2 (x + 3)} - \frac{2 x + 1}{2 (x + 3)} \dots$ 第三步

$= \frac{2 x - 6 - (2 x + 1)}{2 (x + 3)} \dots$ 第四步

$= \frac{2 x - 6 - 2 x + 1}{2 (x + 3)} \dots$ 第五步

$= - \frac{5}{2 x + 6} \dots$ 第六步

任务一：填空：

①以上化简步骤中，第　　步是进行分式的通分，通分的依据是　　．或填为：　　；

②第　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　　；

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．