如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，BCBD，连接CD交⊙-优题课

如图，在 $⊙ O$ 中， $AB$ 是直径， $BC$ 是弦， $BC = BD$ ，连接 $CD$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ， $∠ BCD = ∠ DBE$ ．

（1）求证： $BD$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）过点 $E$ 作 $EF ⊥ AB$ 于 $F$ ，交 $BC$ 于 $G$ ，已知 $DE = 2 \sqrt{10}$ ， $EG = 3$ ，求 $BG$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：垂径定理圆周角定理相似三角形的判定与性质切线的判定

如图，为了测量出楼房 $AC$ 的高度，从距离楼底 $C$ 处 $60 \sqrt{3}$ 米的点 $D$ （点 $D$ 与楼底 $C$ 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为 $i = 1 : \sqrt{3}$ 的斜坡 $DB$ 前进30米到达点 $B$ ，在点 $B$ 处测得楼顶 $A$ 的仰角为 $53 °$ ，求楼房 $AC$ 的高度（参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.8$ ， $\cos 53 ° \approx 0.6$ ， $\tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ，计算结果用根号表示，不取近似值）．

某商店购买60件 $A$ 商品和30件 $B$ 商品共用了1080元，购买50件 $A$ 商品和20件 $B$ 商品共用了880元．

（1） $A$ 、 $B$ 两种商品的单价分别是多少元？

（2）已知该商店购买 $B$ 商品的件数比购买 $A$ 商品的件数的2倍少4件，如果需要购买 $A$ 、 $B$ 两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的 $A$ 、 $B$ 两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？

为了解某地区七年级学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，从该地区随机抽取部分七年级学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名同学只能选择其中一类节目），并调查得到的数据用下面的表和扇形图来表示（表、图都没制作完成）

节目类型	新闻	体育	动画	娱乐	戏曲
人数	36	90	$a$	$b$	27

根据表、图提供的信息，解决以下问题：

（1）计算出表中 $a$ 、 $b$ 的值；

（2）求扇形统计图中表示“动画”部分所对应的扇形的圆心角度数；

（3）若该地区七年级学生共有47500人，试估计该地区七年级学生中喜爱“新闻”类电视节目的学生有多少人？

如图， $C$ 是线段 $AB$ 的中点， $CD = BE$ ， $CD / / BE$ ．求证： $∠ D = ∠ E$ ．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 经过 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 、 $C (0, - 3)$ 三点，直线 $l$ 是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点 $P$ 是直线 $l$ 上的一个动点，当点 $P$ 到点 $A$ 、点 $C$ 的距离之和最短时，求点 $P$ 的坐标；

（3）点 $M$ 也是直线 $l$ 上的动点，且 $ΔMAC$ 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 $M$ 的坐标．