如图，在直角坐标系中，直线y12x3与x轴，y轴分别交于点B-优题课

如图，在直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $B$ ，点 $C$ ，对称轴为 $x = 1$ 的抛物线过 $B$ ， $C$ 两点，且交 $x$ 轴于另一点 $A$ ，连接 $AC$ ．

（1）直接写出点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ 的坐标和抛物线的解析式；

（2）已知点 $P$ 为第一象限内抛物线上一点，当点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离最大时，求点 $P$ 的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点 $Q$ （点 $C$ 除外），使以点 $Q$ ， $A$ ， $B$ 为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：解直角三角形待定系数法求二次函数解析式相似三角形的判定与性质二次函数综合题

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ， $O$ 为 $BC$ 边上一点，以 $O$ 为圆心， $OB$ 长为半径的 $⊙ O$ 与 $AC$ 边相切于点 $D$ ，交 $BC$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $AB = AD$ ；

（2）连接 $DE$ ，若 $\tan ∠ EDC = \frac{1}{2}$ ， $DE = 2$ ，求线段 $EC$ 的长．

为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本 $y$ （元 $)$ 与种植面积 $x$ （亩 $)$ 之间满足一次函数关系，且当 $x = 160$ 时， $y = 840$ ；当 $x = 190$ 时， $y = 960$ ．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？

（每亩种植利润 $=$ 每亩销售额 $-$ 每亩种植成本 $+$ 每亩种植补贴）

在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由 $A$ 地出发，途经 $B$ 地去往 $C$ 地，如图．当他由 $A$ 地出发时，发现他的北偏东 $45 °$ 方向有一信号发射塔 $P$ ．他由 $A$ 地沿正东方向骑行 $4 \sqrt{2} km$ 到达 $B$ 地，此时发现信号塔 $P$ 在他的北偏东 $15 °$ 方向，然后他由 $B$ 地沿北偏东 $75 °$ 方向骑行 $12 km$ 到达 $C$ 地．

（1）求 $A$ 地与信号发射塔 $P$ 之间的距离；

（2）求 $C$ 地与信号发射塔 $P$ 之间的距离．（计算结果保留根号）

如图，在 $▱ ABCD$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $AD$ 、 $BC$ 上，且 $∠ ABE = ∠ CDF$ ．

（1）探究四边形 $BEDF$ 的形状，并说明理由；

（2）连接 $AC$ ，分别交 $BE$ 、 $DF$ 于点 $G$ 、 $H$ ，连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $O$ ．若 $\frac{AG}{OG} = \frac{2}{3}$ ， $AE = 4$ ，求 $BC$ 的长．

为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“献礼建党百年”党史知识竞赛活动．胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100分，且得分 $x$ 均为不小于60的整数），并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格 $(60 ⩽ x < 70)$ 、合格 $(70 ⩽ x < 80)$ 、良好 $(80 ⩽ x < 90)$ 、优秀 $(90 ⩽ x ⩽ 100)$ ，制作了如下统计图（部分信息未给出） $:$

根据图中提供的信息解决下列问题：

（1）胡老师共抽取了　　名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为　　，请补全条形统计图．

（2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率．