粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工-优题课

某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：

问题提出：

如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．

方案设计：

如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面 $AC$ 的遮阳蓬 $CD$ ．

数据收集：

通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线 $DA$ 与遮阳蓬 $CD$ 的夹角 $∠ ADC$ 最大 $(∠ ADC = 77.44 °)$ ；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线 $DB$ 与遮阳蓬 $CD$ 的夹角 $∠ BDC$ 最小 $(∠ BDC = 30.56 °)$ ．窗户的高度 $AB = 2 m$ ．

问题解决：

根据上述方案及数据，求遮阳蓬 $CD$ 的长．

（结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $\sin 30.56 ° \approx 0.51$ ， $\cos 30.56 ° \approx 0.86$ ， $\tan 30.56 ° \approx 0.59$ ， $\sin 77.44 ° \approx 0.98$ ， $\cos 77.44 ° \approx 0.22$ ， $\tan 77.44 ° \approx 4.49)$

为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．

小佳对八年级1班全班学生 $(25$ 名）的成绩进行分析，过程如下：

收集、整理数据：

表一

分数段

班级

$60 ⩽ x < 70$

$70 ⩽ x < 80$

$80 ⩽ x < 90$

$90 ⩽ x ⩽ 100$

八年级1班

7

5

10

3

分析数据：

表二

统计量

班级

平均数

中位数

众数

极差

方差

八年级1班

78

85

36

105.28

小丽用同样的方法对八年级2班全班学生 $(25$ 名）的成绩进行分析，数据如下：

表三

统计量

班级

平均数

中位数

众数

极差

方差

八年级2班

75

76

73

44

146.80

根据以上信息，解决下列问题：

（1）已知八年级1班学生的成绩在 $80 ⩽ x < 90$ 这一组的数据如下：

85，87，88，80，82，85，83，85，87，85

根据上述数据，将表二补充完整；

（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过等边三角形 $BOC$ 的顶点 $B$ ， $OC = 2$ ，点 $A$ 在反比例函数图象上，连接 $AC$ ， $OA$ ．

（1）求反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的表达式；

（2）若四边形 $ACBO$ 的面积是 $3 \sqrt{3}$ ，求点 $A$ 的坐标．

如图， $AC = 8$ ，分别以 $A$ 、 $C$ 为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点 $B$ 和 $D$ ．依次连接 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $O$ ．

（1）判断四边形 $ABCD$ 的形状并说明理由；

（2）求 $BD$ 的长．

2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强 $- -$ 国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．

第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ 表示）；

第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ 表示）．

（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；

（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．