背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置-优题课

背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点 $E$ 、 $A$ 、 $D$ 在同一条直线上），发现 $BE = DG$ 且 $BE ⊥ DG$ ．

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形 $AEFG$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转（如图 $1)$ ，还能得到 $BE = DG$ 吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形 $AEFG$ 和菱形 $ABCD$ ，将菱形 $AEFG$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转（如图 $2)$ ，试问当 $∠ EAG$ 与 $∠ BAD$ 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论 $BE = DG$ 仍成立？请说明理由；

（3）把背景中的正方形分别改写成矩形 $AEFG$ 和矩形 $ABCD$ ，且 $\frac{AE}{AG} = \frac{AB}{AD} = \frac{2}{3}$ ， $AE = 4$ ， $AB = 8$ ，将矩形 $AEFG$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转（如图 $3)$ ，连接 $DE$ ， $BG$ ．小组发现：在旋转过程中， $D E^{2} + B G^{2}$ 的值是定值，请求出这个定值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似三角形的判定与性质几何变换综合题全等三角形的判定与性质正方形的性质