如图，AB是⊙O的直径，AB6，OC⊥AB，OC5，BC与⊙-优题课

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AB = 6$ ， $OC ⊥ AB$ ， $OC = 5$ ， $BC$ 与 $⊙ O$ 交于点 $D$ ，点 $E$ 是 $\hat{BD}$ 的中点， $EF / / BC$ ，交 $OC$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证： $EF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2） $CG / / OD$ ，交 $AB$ 于点 $G$ ，求 $CG$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形切线的判定与性质勾股定理

如图1，在平面直角坐标系， $O$ 为坐标原点，点 $A (- 1, 0)$ ，点 $B (0, \sqrt{3})$ ．

（1）求 $∠ BAO$ 的度数；

（2）如图1，将 $ΔAOB$ 绕点 $O$ 顺时针旋转得△ $A' OB'$ ，当 $A'$ 恰好落在 $AB$ 边上时，设△ $AB' O$ 的面积为 $S_{1}$ ，△ $BA' O$ 的面积为 $S_{2}$ ， $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 有何关系？为什么？

（3）若将 $ΔAOB$ 绕点 $O$ 顺时针旋转到如图2所示的位置， $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的关系发生变化了吗？证明你的判断．

【探究函数 y = x + 4 x 的图象与性质】

（1）函数 $y = x + \frac{4}{x}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是　　；

（2）下列四个函数图象中函数 $y = x + \frac{4}{x}$ 的图象大致是　　；

（3）对于函数 $y = x + \frac{4}{x}$ ，求当 $x > 0$ 时， $y$ 的取值范围．

请将下列的求解过程补充完整．

解： $∵ x > 0$

$∴ y = x + \frac{4}{x} = {(\sqrt{x})}^{2} + {(\frac{2}{\sqrt{x}})}^{2} = {(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{2} +$ 　　

$∵ {(\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{2} ⩾ 0$

$∴ y ⩾$ 　　．

$[$ 拓展运用 $]$

（4）若函数 $y = \frac{x^{2} - 5 x + 9}{x}$ ，则 $y$ 的取值范围　　．

某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式： $A$ 、跑步， $B$ 、跳绳， $C$ 、做操， $D$ 、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．

请结合统计图，回答下列问题：

（1）本次调查学生共　　人， $a =$ 　　，并将条形图补充完整；

（2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？

（3）学校让每班在 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．

两个城镇 $A$ ， $B$ 与一条公路 $CD$ ，一条河流 $CE$ 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到 $A$ ， $B$ 的距离必须相等，到 $CD$ 和 $CE$ 的距离也必须相等，且在 $∠ DCE$ 的内部，请画出该山庄的位置 $P$ ．（不要求写作法，保留作图痕迹． $)$

如图，点 $E$ ， $F$ 分别在菱形 $ABCD$ 的边 $DC$ ， $DA$ 上，且 $CE = AF$ ．

求证： $∠ ABF = ∠ CBE$ ．