在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，抛物线与$x$轴交于$(p,0)$，$(q,0)$，则该抛物线的解析式可以表示为：

$y=a(x-p)(x-q)=a{x}^2-a(p+q)x+\mathit{apq}$．

（1）若$a=1$，抛物线与$x$轴交于$(1,0)$，$(5,0)$，直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）若$a=-1$，如图（1），$A(-1,0)$，$B(3,0)$，点$M(m,0)$在线段$\mathit{AB}$上，抛物线$C_1$与$x$轴交于$A$，$M$，顶点为$C$；抛物线$C_2$与$x$轴交于$B$，$M$，顶点为$D$．当$A$，$C$，$D$三点在同一条直线上时，求$m$的值；

（3）已知抛物线$C_3$与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(3,0)$，线段$\mathit{EF}$的端点$E(0,3)$，$F(4,3)$．若抛物线$C_3$与线段$\mathit{EF}$有公共点，结合图象，在图（2）中探究$a$的取值范围．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题