如图1，抛物线$y=-\frac{1}{2}{(x+2)}^2+6$与抛物线$y_1=-x^2+\frac{1}{2}\mathit{tx}+t-2$相交$y$轴于点$C$，抛物线$y_1$与$x$轴交于$A$、$B$两点（点$B$在点$A$的右侧），直线$y_2=\mathit{kx}+3$交$x$轴负半轴于点$N$，交$y$轴于点$M$，且$\mathit{OC}=\mathit{ON}$．

（1）求抛物线$y_1$的解析式与$k$的值；

（2）抛物线$y_1$的对称轴交$x$轴于点$D$，连接$\mathit{AC}$，在$x$轴上方的对称轴上找一点$E$，使以点$A$，$D$，$E$为顶点的三角形与$\mathit{\Delta AOC}$相似，求出$\mathit{DE}$的长；

（3）如图2，过抛物线$y_1$上的动点$G$作$\mathit{GH}\perp x$轴于点$H$，交直线$y_2=\mathit{kx}+3$于点$Q$，若点$Q^{\text{'}}$是点$Q$关于直线$\mathit{MG}$的对称点，是否存在点$G$（不与点$C$重合），使点$Q^{\text{'}}$落在$y$轴上？若存在，请直接写出点$G$的横坐标，若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 轴对称的性质 解直角三角形 待定系数法求二次函数解析式 相似三角形的判定与性质 菱形的判定与性质 二次函数综合题