如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合）-优题课

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点（与点 $A$ ， $B$ 不重合），过点 $C$ 作直线 $PQ$ ，使得 $∠ ACQ = ∠ ABC$ ．

（1）求证：直线 $PQ$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）过点 $A$ 作 $AD ⊥ PQ$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，若 $⊙ O$ 的半径为2， $\sin ∠ DAC = \frac{1}{2}$ ，求图中阴影部分的面积．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆周角定理解直角三角形切线的判定与性质等边三角形的判定与性质扇形面积的计算

已知二次函数 $y = x^{2} + 2 bx - 3 b$ ．

（1）当该二次函数的图象经过点 $A (1, 0)$ 时，求该二次函数的表达式；

（2）在（1）的条件下，二次函数图象与 $x$ 轴的另一个交点为点 $B$ ，与 $y$ 轴的交点为点 $C$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发在线段 $AB$ 上以每秒2个单位长度的速度向点 $B$ 运动，同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发，在线段 $BC$ 上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$ 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求 $ΔBPQ$ 面积的最大值；

（3）若对满足 $x ⩾ 1$ 的任意实数 $x$ ，都使得 $y ⩾ 0$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围．

如图，在 $⊙ O$ 中， $AB$ 是直径， $CD$ 是弦， $AB ⊥ CD$ ，垂足为 $P$ ，过点 $D$ 的 $⊙ O$ 的切线与 $AB$ 延长线交于点 $E$ ，连接 $CE$ ．

（1）求证： $CE$ 为 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 半径为3， $CE = 4$ ，求 $\sin ∠ DEC$ ．

已知反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象经过点 $A (2, 3)$ ．

（1）求该反比例函数的表达式；

（2）如图，在反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象上点 $A$ 的右侧取点 $C$ ，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线交 $x$ 轴于点 $H$ ，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线交直线 $CH$ 于点 $D$ ．

①过点 $A$ ，点 $C$ 分别作 $x$ 轴， $y$ 轴的垂线，两线相交于点 $B$ ，求证： $O$ ， $B$ ， $D$ 三点共线；

②若 $AC = 2 OA$ ，求证： $∠ AOD = 2 ∠ DOH$ ．

如图， $ΔOAD$ 为等腰直角三角形，延长 $OA$ 至点 $B$ 使 $OB = OD$ ， $ABCD$ 是矩形，其对角线 $AC$ ， $BD$ 交于点 $E$ ，连接 $OE$ 交 $AD$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $ΔOAF ≅ ΔDAB$ ；

（2）求 $\frac{DF}{AF}$ 的值．

某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量 $y$ （瓶 $)$ 与每瓶售价 $x$ （元 $)$ 之间存在一次函数关系（其中 $10 ⩽ x ⩽ 21$ ，且 $x$ 为整数）．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为 $w$ 元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？