如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点-优题课

如图，在边长为4的正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为对角线 $AC$ 上一动点（点 $E$ 与点 $A$ 、 $C$ 不重合），连接 $DE$ ，作 $EF ⊥ DE$ 交射线 $BA$ 于点 $F$ ，过点 $E$ 作 $MN / / BC$ 分别交 $CD$ 、 $AB$ 于点 $M$ 、 $N$ ，作射线 $DF$ 交射线 $CA$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $EF = DE$ ；

（2）当 $AF = 2$ 时，求 $GE$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似三角形的判定与性质全等三角形的判定与性质正方形的性质

为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求扇形统计图中 $m$ 的值，并补全条形统计图；

（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？

（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？

光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度．

（1）求这个月晴天的天数．

（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其它费用，结果取整数）．

如图，已知 $BD$ 是矩形 $ABCD$ 的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段 $BD$ 的垂直平分线，分别交 $AD$ 、 $BC$ 于 $E$ 、 $F$ （保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连接 $BE$ ， $DF$ ，问四边形 $BEDF$ 是什么四边形？请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(5, 0)$ ，菱形 $OABC$ 的顶点 $B$ ， $C$ 都在第一象限， $\tan ∠ AOC = \frac{4}{3}$ ，将菱形绕点 $A$ 按顺时针方向旋转角 $α (0 ° < ∠ α < ∠ AOC)$ 得到菱形 $FADE$ （点 $O$ 的对应点为点 $F)$ ， $EF$ 与 $OC$ 交于点 $G$ ，连接 $AG$ ．

（1）求点 $B$ 的坐标．

（2）当 $OG = 4$ 时，求 $AG$ 的长．

（3）求证： $GA$ 平分 $∠ OGE$ ．

（4）连接 $BD$ 并延长交 $x$ 轴于点 $P$ ，当点 $P$ 的坐标为 $(12, 0)$ 时，求点 $G$ 的坐标．

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，在 $ΔABC$ 中， $CD$ 为角平分线， $∠ A = 40 °$ ， $∠ B = 60 °$ ，求证： $CD$ 为 $ΔABC$ 的完美分割线．

（2）在 $ΔABC$ 中， $∠ A = 48 °$ ， $CD$ 是 $ΔABC$ 的完美分割线，且 $ΔACD$ 为等腰三角形，求 $∠ ACB$ 的度数．

（3）如图2， $ΔABC$ 中， $AC = 2$ ， $BC = \sqrt{2}$ ， $CD$ 是 $ΔABC$ 的完美分割线，且 $ΔACD$ 是以 $CD$ 为底边的等腰三角形，求完美分割线 $CD$ 的长．