如图，抛物线y12x2bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B-优题课

题文

如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左边），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．直线 $y = \frac{1}{2} x - 2$ 经过 $B$ 、 $C$ 两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一动点，过点 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与直线 $BC$ 及 $x$ 轴分别交于点 $D$ 、 $M$ ． $PN ⊥ BC$ ，垂足为 $N$ ．设 $M (m, 0)$ ．

①点 $P$ 在抛物线上运动，若 $P$ 、 $D$ 、 $M$ 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的 $m$ 的值；

②当点 $P$ 在直线 $BC$ 下方的抛物线上运动时，是否存在一点 $P$ ，使 $ΔPNC$ 与 $ΔAOC$ 相似．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：待定系数法求二次函数解析式相似三角形的判定与性质二次函数综合题

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