如图，抛物线$y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与$x$轴交于$A$、$B$两点（点$A$在点$B$左边），与$y$轴交于点$C$．直线$y=\frac{1}{2}x-2$经过$B$、$C$两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点$P$是抛物线上的一动点，过点$P$且垂直于$x$轴的直线与直线$\mathit{BC}$及$x$轴分别交于点$D$、$M$．$\mathit{PN}\perp \mathit{BC}$，垂足为$N$．设$M(m,0)$．

①点$P$在抛物线上运动，若$P$、$D$、$M$三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的$m$的值；

②当点$P$在直线$\mathit{BC}$下方的抛物线上运动时，是否存在一点$P$，使$\mathit{\Delta PNC}$与$\mathit{\Delta AOC}$相似．若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 待定系数法求二次函数解析式 相似三角形的判定与性质 二次函数综合题