已知抛物线yax22axc过点A(1,0)和C(0,3)，与-优题课

题文

已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax + c$ 过点 $A (- 1, 0)$ 和 $C (0, 3)$ ，与 $x$ 轴交于另一点 $B$ ，顶点为 $D$ ．

（1）求抛物线的解析式，并写出 $D$ 点的坐标；

（2）如图1， $E$ 为线段 $BC$ 上方的抛物线上一点， $EF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ， $EM ⊥ x$ 轴，垂足为 $M$ ，交 $BC$ 于点 $G$ ．当 $BG = CF$ 时，求 $ΔEFG$ 的面积；

（3）如图2， $AC$ 与 $BD$ 的延长线交于点 $H$ ，在 $x$ 轴上方的抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $∠ OPB = ∠ AHB$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式相似三角形的判定与性质二次函数综合题

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解方程：

某射击运动员在相同条件下的射击160次，其成绩记录如下：

射击次数	20	40	60	80	100	120	140	160
射中9环以上的次数	15	33		63	78	97	111	127
射中9环以上的频率	0.75	0.83	0.80	0.79	0.79		0.79	0.81

（1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9环以上的次数为整数，频率精确到0.01）；
（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率（精确到0.1），并简述理由.

计算：

如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.

（1）连结，证明：；
（2）如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;

（3）如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线

已知关于的方程有实根.
（1）求的值;
（2）若关于的方程的所有根均为整数，求整数的值

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