如图，正比例函数ykx的图象与反比例函数y8x(x<0)的图-优题课

如图，正比例函数 $y = kx$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (a, 4)$ ．点 $B$ 为 $x$ 轴正半轴上一点，过 $B$ 作 $x$ 轴的垂线交反比例函数的图象于点 $C$ ，交正比例函数的图象于点 $D$ ．

（1）求 $a$ 的值及正比例函数 $y = kx$ 的表达式；

（2）若 $BD = 10$ ，求 $ΔACD$ 的面积．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：反比例函数的性质反比例函数与一次函数的交点问题待定系数法求一次函数解析式

某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题：

抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表

类别	项目	人数（人 $)$
$A$	跳绳	59
$B$	健身操	▲
$C$	俯卧撑	31
$D$	开合跳	▲
$E$	其它	22

（1）求参与问卷调查的学生总人数．

（2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？

（3）该市共有初中学生约8000人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数．

解不等式： $5 x - 5 < 2 (2 + x)$ ．

计算： ${(- 2020)}^{0} + \sqrt{4} - \tan 45 ° + | - 3 |$ ．

在篮球比赛中，东东投出的球在点 $A$ 处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点 $B$ ．

（1）求该抛物线的函数表达式．

（2）当球运动到点 $C$ 时被东东抢到， $CD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ， $CD = 2.6 m$ ．

①求 $OD$ 的长．

②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点 $D$ 处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点 $E (4, 1.3)$ ．东东起跳后所持球离地面高度 $h_{1} (m)$ （传球前）与东东起跳后时间 $t (s)$ 满足函数关系式 $h_{1} = - 2 {(t - 0.5)}^{2} + 2.7 (0 ⩽ t ⩽ 1)$ ；小戴在点 $F (1.5, 0)$ 处拦截，他比东东晚 $0.3 s$ 垂直起跳，其拦截高度 $h_{2} (m)$ 与东东起跳后时间 $t (s)$ 的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点 $E$ ？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．

在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 $ABC$ 和 $DEF$ 拼在一起，使点 $A$ 与点 $F$ 重合，点 $C$ 与点 $D$ 重合（如图 $1)$ ，其中 $∠ ACB = ∠ DFE = 90 °$ ， $BC = EF = 3 cm$ ， $AC = DF = 4 cm$ ，并进行如下研究活动．

活动一：将图1中的纸片 $DEF$ 沿 $AC$ 方向平移，连结 $AE$ ， $BD$ （如图 $2)$ ，当点 $F$ 与点 $C$ 重合时停止平移．

[思考]图2中的四边形 $ABDE$ 是平行四边形吗？请说明理由．

[发现]当纸片 $DEF$ 平移到某一位置时，小兵发现四边形 $ABDE$ 为矩形（如图 $3)$ ．求 $AF$ 的长．

活动二：在图3中，取 $AD$ 的中点 $O$ ，再将纸片 $DEF$ 绕点 $O$ 顺时针方向旋转 $α$ 度 $(0 ⩽ α ⩽ 90)$ ，连结 $OB$ ， $OE$ （如图 $4)$ ．

[探究]当 $EF$ 平分 $∠ AEO$ 时，探究 $OF$ 与 $BD$ 的数量关系，并说明理由．