矩形ABCD中，AB8，AD12．将矩形折叠，使点A落在点P-优题课

矩形 $ABCD$ 中， $AB = 8$ ， $AD = 12$ ．将矩形折叠，使点 $A$ 落在点 $P$ 处，折痕为 $DE$ ．

（1）如图①，若点 $P$ 恰好在边 $BC$ 上，连接 $AP$ ，求 $\frac{AP}{DE}$ 的值；

（2）如图②，若 $E$ 是 $AB$ 的中点， $EP$ 的延长线交 $BC$ 于点 $F$ ，求 $BF$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似三角形的判定与性质矩形的性质翻折变换（折叠问题）

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上两点， $C$ 是 $\hat{BD}$ 的中点，过点 $C$ 作 $AD$ 的垂线，垂足是 $E$ ．连接 $AC$ 交 $BD$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $CE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\frac{DC}{DF} = \sqrt{6}$ ，求 $\cos ∠ ABD$ 的值．

如图是由小正方形组成的 $5 \times 7$ 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形 $ABCD$ 的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

（1）在图（1）中，先在边 $AB$ 上画点 $E$ ，使 $AE = 2 BE$ ，再过点 $E$ 画直线 $EF$ ，使 $EF$ 平分矩形 $ABCD$ 的面积；

（2）在图（2）中，先画 $ΔBCD$ 的高 $CG$ ，再在边 $AB$ 上画点 $H$ ，使 $BH = DH$ ．

为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间 $t$ （单位： $h)$ ，按劳动时间分为四组： $A$ 组“ $t < 5$ ”， $B$ 组“ $5 ⩽ t < 7$ ”， $C$ 组“ $7 ⩽ t < 9$ ”， $D$ 组“ $t ⩾ 9$ ”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次抽样调查的样本容量是　　， $C$ 组所在扇形的圆心角的大小是　　；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于 $7 h$ 的学生人数．

如图， $AB / / CD$ ， $∠ B = ∠ D$ ，直线 $EF$ 与 $AD$ ， $BC$ 的延长线分别交于点 $E$ ， $F$ ，求证： $∠ DEF = ∠ F$ ．

解不等式组 $\{\begin{matrix} 2 x ⩾ x - 1, ① \\ 4 x + 10 > x + 1 \cdot ② \end{matrix}$ 请按下列步骤完成解答．

（1）解不等式①，得　　；

（2）解不等式②，得　　；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是　　．

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