能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放-优题课

能够完全重合的平行四边形纸片 $ABCD$ 和 $AEFG$ 按图①方式摆放，其中 $AD = AG = 5$ ， $AB = 9$ ．点 $D$ ， $G$ 分别在边 $AE$ ， $AB$ 上， $CD$ 与 $FG$ 相交于点 $H$ ．

【探究】求证：四边形 $AGHD$ 是菱形．

【操作一】固定图①中的平行四边形纸片 $ABCD$ ，将平行四边形纸片 $AEFG$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转一定的角度，使点 $F$ 与点 $C$ 重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为　　．

【操作二】将图②中的平行四边形纸片 $AEFG$ 绕着点 $A$ 继续顺时针旋转一定的角度，使点 $E$ 与点 $B$ 重合，连接 $DG$ ， $CF$ ，如图③，若 $\sin ∠ BAD = \frac{4}{5}$ ，则四边形 $DCFG$ 的面积为　　．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：旋转的性质平行四边形的判定与性质解直角三角形菱形的判定与性质矩形的判定与性质四边形综合题

为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调查（问卷调查表如图1所示），并根据调查结果绘制了图2、图3两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答下列问题．

（1）本次接受问卷调查的学生有　　名．

（2）补全条形统计图．

（3）扇形统计图中 $B$ 类节目对应扇形的圆心角的度数为　　．

（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数．

一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数 $- 1$ ，2， $- 3$ ，4．

（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为　　．

（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 6$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2, 0)$ ， $B (6, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ，直线 $AD$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图2，将 $ΔAOE$ 沿直线 $AD$ 平移得到 $ΔNMP$ ．

①当点 $M$ 落在抛物线上时，求点 $M$ 的坐标．

②在 $ΔNMP$ 移动过程中，存在点 $M$ 使 $ΔMBD$ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 $M$ 的坐标．

如图， $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $DE$ 垂直平分 $AB$ ，交线段 $BC$ 于点 $E$ （点 $E$ 与点 $C$ 不重合），点 $F$ 为 $AC$ 上一点，点 $G$ 为 $AB$ 上一点（点 $G$ 与点 $A$ 不重合），且 $∠ GEF + ∠ BAC = 180 °$ ．

（1）如图1，当 $∠ B = 45 °$ 时，线段 $AG$ 和 $CF$ 的数量关系是　　．

（2）如图2，当 $∠ B = 30 °$ 时，猜想线段 $AG$ 和 $CF$ 的数量关系，并加以证明．

（3）若 $AB = 6$ ， $DG = 1$ ， $\cos B = \frac{3}{4}$ ，请直接写出 $CF$ 的长．

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $AD = 2 AB$ ，以点 $A$ 为圆心、 $AB$ 的长为半径的 $⊙ A$ 恰好经过 $BC$ 的中点 $E$ ，连接 $DE$ ， $AE$ ， $BD$ ， $AE$ 与 $BD$ 交于点 $F$ ．

（1）求证： $DE$ 与 $⊙ A$ 相切．

（2）若 $AB = 6$ ，求 $BF$ 的长．