如图，过⊙O上的两点A、B分别作切线，并交BO、AO的延长线-优题课

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + \frac{3}{2} x + 4$ 的对称轴是直线 $x = 3$ ，且与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点 $(B$ 点在 $A$ 点右侧）与 $y$ 轴交于 $C$ 点．

（1）求抛物线的解析式和 $A$ 、 $B$ 两点的坐标；

（2）若点 $P$ 是抛物线上 $B$ 、 $C$ 两点之间的一个动点（不与 $B$ 、 $C$ 重合），则是否存在一点 $P$ ，使 $ΔPBC$ 的面积最大．若存在，请求出 $ΔPBC$ 的最大面积；若不存在，试说明理由；

（3）若 $M$ 是抛物线上任意一点，过点 $M$ 作 $y$ 轴的平行线，交直线 $BC$ 于点 $N$ ，当 $MN = 3$ 时，求 $M$ 点的坐标．

如图，某测量小组为了测量山 $BC$ 的高度，在地面 $A$ 处测得山顶 $B$ 的仰角 $45 °$ ，然后沿着坡度为 $i = 1 : \sqrt{3}$ 的坡面 $AD$ 走了200米达到 $D$ 处，此时在 $D$ 处测得山顶 $B$ 的仰角为 $60 °$ ，求山高 $BC$ （结果保留根号）．

学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类： $A$ ：好， $B$ ：中， $C$ ：差．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求全班学生总人数；

（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；

（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中 $A$ 类1人， $B$ 类2人， $C$ 类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图或列表法求出全是 $B$ 类学生的概率．

请阅读以下材料：已知向量 $\vec{a} = (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}$ ， $y_{2})$ 满足下列条件：

① $| \vec{a} | = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}$

② $\vec{a} \otimes \vec{b} = | \vec{a} | \times | \vec{b} | \cos α$ （角 $α$ 的取值范围是 $0 ° < α < 90 °)$ ；

③ $\vec{a} \otimes \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

利用上述所给条件解答问题：

如：已知 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- \sqrt{3}$ ， $3)$ ，求角 $α$ 的大小；

解： $∵ | \vec{a} | = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}} = 2$ ，

$\vec{b} = \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}} = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$

$∴ \vec{a} \otimes \vec{b} = | \vec{a} | \times | \vec{b} | \cos α = 2 \times 2 \sqrt{3} \cos α = 4 \sqrt{3} \cos α$

又 $∵ \vec{a} \otimes \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 1 \times (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \times 3 = 2 \sqrt{3}$

$∴ 4 \sqrt{3} \cos α = 2 \sqrt{3}$

$∴ \cos α = \frac{1}{2}$ ， $∴ α = 60 °$

$∴$ 角 $α$ 的值为 $60 °$ ．

请仿照以上解答过程，完成下列问题：

已知 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，求角 $α$ 的大小．

如图，过 $⊙ O$ 外一点 $P$ 作 $⊙ O$ 的切线 $PA$ 切 $⊙ O$ 于点 $A$ ，连接 $PO$ 并延长，与 $⊙ O$ 交于 $C$ 、 $D$ 两点， $M$ 是半圆 $CD$ 的中点，连接 $AM$ 交 $CD$ 于点 $N$ ，连接 $AC$ 、 $CM$ ．

（1）求证： $C M^{2} = MN \cdot MA$ ；

（2）若 $∠ P = 30 °$ ， $PC = 2$ ，求 $CM$ 的长．