（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外-优题课

（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE＝CD；

（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；

（3）运用（1），（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长（结果保留根号）．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：全等三角形的判定与性质正方形的性质勾股定理

在 $ΔABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ， $\frac{AB}{BC} = n$ ， $M$ 是 $BC$ 上一点，连接 $AM$ ．

（1）如图1，若 $n = 1$ ， $N$ 是 $AB$ 延长线上一点， $CN$ 与 $AM$ 垂直，求证： $BM = BN$ ．

（2）过点 $B$ 作 $BP ⊥ AM$ ， $P$ 为垂足，连接 $CP$ 并延长交 $AB$ 于点 $Q$ ．

①如图2，若 $n = 1$ ，求证： $\frac{CP}{PQ} = \frac{BM}{BQ}$ ．

②如图3，若 $M$ 是 $BC$ 的中点，直接写出 $\tan ∠ BPQ$ 的值．（用含 $n$ 的式子表示）

某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量 $y$ （件 $)$ 是售价 $x$ （元 $/$ 件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润 $w$ （元 $)$ 的三组对应值如表：

注：周销售利润 $=$ 周销售量 $\times$ （售价 $-$ 进价）

（1）①求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

②该商品进价是　　元 $/$ 件；当售价是　　元 $/$ 件时，周销售利润最大，最大利润是　　元．

（2）由于某种原因，该商品进价提高了 $m$ 元 $/$ 件 $(m > 0)$ ，物价部门规定该商品售价不得超过65元 $/$ 件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求 $m$ 的值．

已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AM$ 和 $BN$ 是 $⊙ O$ 的两条切线， $DC$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $E$ ，分别交 $AM$ 、 $BN$ 于 $D$ 、 $C$ 两点．

（1）如图1，求证： $A B^{2} = 4 AD \cdot BC$ ；

（2）如图2，连接 $OE$ 并延长交 $AM$ 于点 $F$ ，连接 $CF$ ．若 $∠ ADE = 2 ∠ OFC$ ， $AD = 1$ ，求图中阴影部分的面积．

如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形 $ABCD$ 的顶点在格点上，点 $E$ 是边 $DC$ 与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．

（1）如图1，过点 $A$ 画线段 $AF$ ，使 $AF / / DC$ ，且 $AF = DC$ ．

（2）如图1，在边 $AB$ 上画一点 $G$ ，使 $∠ AGD = ∠ BGC$ ．

（3）如图2，过点 $E$ 画线段 $EM$ ，使 $EM / / AB$ ，且 $EM = AB$ ．

为弘扬中华传统文化，某校开展“汉剧进课堂”的活动，该校随机抽取部分学生，按四个类别： $A$ 表示“很喜欢”， $B$ 表示“喜欢”， $C$ 表示“一般”， $D$ 表示“不喜欢”，调查他们对汉剧的喜爱情况，将结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：

（1）这次共抽取　　名学生进行统计调查，扇形统计图中， $D$ 类所对应的扇形圆心角的大小为　　；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1500名学生，估计该校表示“喜欢”的 $B$ 类的学生大约有多少人？