如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）-优题课

如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．

（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN＝30°，求点B的坐标；

（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：坐标与图形性质切线的判定

如图1，在 $▱ ABCD$ 中， $DH ⊥ AB$ 于点 $H$ ， $CD$ 的垂直平分线交 $CD$ 于点 $E$ ，交 $AB$ 于点 $F$ ， $AB = 6$ ， $DH = 4$ ， $BF : FA = 1 : 5$ ．

（1）如图2，作 $FG ⊥ AD$ 于点 $G$ ，交 $DH$ 于点 $M$ ，将 $ΔDGM$ 沿 $DC$ 方向平移，得到△ $CG' M'$ ，连接 $M' B$ ．

①求四边形 $BHMM'$ 的面积；

②直线 $EF$ 上有一动点 $N$ ，求 $ΔDNM$ 周长的最小值．

（2）如图3，延长 $CB$ 交 $EF$ 于点 $Q$ ，过点 $Q$ 作 $QK / / AB$ ，过 $CD$ 边上的动点 $P$ 作 $PK / / EF$ ，并与 $QK$ 交于点 $K$ ，将 $ΔPKQ$ 沿直线 $PQ$ 翻折，使点 $K$ 的对应点 $K'$ 恰好落在直线 $AB$ 上，求线段 $CP$ 的长．

为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有 $A$ ， $B$ 两种型号的挖掘机，已知3台 $A$ 型和5台 $B$ 型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台 $A$ 型和7台 $B$ 型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台 $A$ 型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台 $B$ 型挖掘机一小时的施工费用为180元．

（1）分别求每台 $A$ 型， $B$ 型挖掘机一小时挖土多少立方米？

（2）若不同数量的 $A$ 型和 $B$ 型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？

如图， $BD$ 为 $ΔABC$ 外接圆 $⊙ O$ 的直径，且 $∠ BAE = ∠ C$ ．

（1）求证： $AE$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ；

（2）若 $AE / / BC$ ， $BC = 2 \sqrt{7}$ ， $AC = 2 \sqrt{2}$ ，求 $AD$ 的长．

为进一步提高全民“节约用水”意识，某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查了所住小区 $n$ 户家庭的月用水量，绘制了下面不完整的统计图．

（1）求 $n$ 并补全条形统计图；

（2）求这 $n$ 户家庭的月平均用水量；并估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数；

（3）从月用水量为 $5 m^{3}$ 和 $9 m^{3}$ 的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查，求选出的两户中月用水量为 $5 m^{3}$ 和 $9 m^{3}$ 恰好各有一户家庭的概率．

如图，点 $M$ 是正方形 $ABCD$ 边 $CD$ 上一点，连接 $AM$ ，作 $DE ⊥ AM$ 于点 $E$ ， $BF ⊥ AM$ 于点 $F$ ，连接 $BE$ ．

（1）求证： $AE = BF$ ；

（2）已知 $AF = 2$ ，四边形 $ABED$ 的面积为24，求 $∠ EBF$ 的正弦值．